Google
Câu hỏi: Cho $a,b,c>1$. Biết rằng biểu thức $P={{\log }_{a}}\left( bc \right)+{{\log }_{b}}\left( ac \right)+4{{\log }_{c}}\left( ab \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất là m khi ${{\log }_{b}}c=n$. Tính giá trị $m+n$
A. $m+n=12$
B. $m+n=\dfrac{25}{2}$
C. $m+n=14$
D. $m+n=10$
A. $m+n=12$
B. $m+n=\dfrac{25}{2}$
C. $m+n=14$
D. $m+n=10$
Ta có $P={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c+{{\log }_{b}}a+{{\log }_{b}}c+4{{\log }_{c}}a+4{{\log }_{c}}b$
$P=\left( {{\log }_{a}}b+\dfrac{1}{{{\log }_{a}}b} \right)+\left( {{\log }_{a}}c+\dfrac{4}{{{\log }_{a}}c} \right)+\left( {{\log }_{b}}c+\dfrac{4}{{{\log }_{b}}c} \right)\ge 2+4+4=10\Rightarrow m=10$
Dấu đẳng thức xảy ra khi ${{\log }_{a}}b=1,{{\log }_{a}}c=2,{{\log }_{b}}c=2\Rightarrow n=2$
Vậy $m+n=12$
$P=\left( {{\log }_{a}}b+\dfrac{1}{{{\log }_{a}}b} \right)+\left( {{\log }_{a}}c+\dfrac{4}{{{\log }_{a}}c} \right)+\left( {{\log }_{b}}c+\dfrac{4}{{{\log }_{b}}c} \right)\ge 2+4+4=10\Rightarrow m=10$
Dấu đẳng thức xảy ra khi ${{\log }_{a}}b=1,{{\log }_{a}}c=2,{{\log }_{b}}c=2\Rightarrow n=2$
Vậy $m+n=12$
Đáp án A.