Google
Câu hỏi: Cho $0\le x\le 2020$ và ${{\log }_{2}}(2x+2)+x-3y={{8}^{y}}$. Có bao nhiêu cặp số $(x ;y)$ nguyên thỏa mãn các điều kiện trên ?
A. 2019.
B. 2018.
C. 1.
D. 4.
A. 2019.
B. 2018.
C. 1.
D. 4.
Do $0\le x\le 2020$ nên ${{\log }_{2}}(2x+2)$ luôn có nghĩa .
Ta có ${{\log }_{2}}(2x+2)+x-3y={{8}^{y}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)+x+1=3y+{{2}^{3y}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)+{{2}^{{{\log }_{2}}(x+1)}}=3y+{{2}^{3y}}$ $(1)$
Xét hàm số $f(t)=t+{{2}^{t}}$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$ và ${f}'(t)=1+{{2}^{t}}\ln 2$ $\Rightarrow $ ${f}'(t)>0$ $\forall t\in \mathbb{R}$.
Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $(1)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)=3y$ $\Leftrightarrow y={{\log }_{8}}(x+1)$.
Ta có $0\le x\le 2020$ nên $1\le x+1\le 2021$ suy ra $0\le {{\log }_{8}}(x+1)\le {{\log }_{8}}2021\Leftrightarrow 0\le y\le {{\log }_{8}}2021$.
Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 0 ;1 ;2 ;\left. 3 \right\} \right.$.
Vậy có 4 cặp số $(x ;y)$ nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp $(0 ;0)$, $(7 ;1)$, $(63 ;2)$, $(511 ;3)$.
Ta có ${{\log }_{2}}(2x+2)+x-3y={{8}^{y}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)+x+1=3y+{{2}^{3y}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)+{{2}^{{{\log }_{2}}(x+1)}}=3y+{{2}^{3y}}$ $(1)$
Xét hàm số $f(t)=t+{{2}^{t}}$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$ và ${f}'(t)=1+{{2}^{t}}\ln 2$ $\Rightarrow $ ${f}'(t)>0$ $\forall t\in \mathbb{R}$.
Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $(1)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)=3y$ $\Leftrightarrow y={{\log }_{8}}(x+1)$.
Ta có $0\le x\le 2020$ nên $1\le x+1\le 2021$ suy ra $0\le {{\log }_{8}}(x+1)\le {{\log }_{8}}2021\Leftrightarrow 0\le y\le {{\log }_{8}}2021$.
Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 0 ;1 ;2 ;\left. 3 \right\} \right.$.
Vậy có 4 cặp số $(x ;y)$ nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp $(0 ;0)$, $(7 ;1)$, $(63 ;2)$, $(511 ;3)$.
Đáp án D.