Câu hỏi: Cho hình chóp đều S. ABCD cạnh đáy bằng a.
a) Tính góc tạo bởi mặt phẳng chứa mặt bên và mặt đáy. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp nếu chiều cao hình chóp bằng a.
b) Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm A, song song với CD và vuông góc với mp(SCD), chia tam giác SCD thành hai phần với tỉ số diện tích bằng (phần thứ nhất chứa đỉnh). Tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bời mặt phẳng (P).
a) Tính góc tạo bởi mặt phẳng chứa mặt bên và mặt đáy. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp nếu chiều cao hình chóp bằng a.
b) Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm A, song song với CD và vuông góc với mp(SCD), chia tam giác SCD thành hai phần với tỉ số diện tích bằng
Lời giải chi tiết
A) ● Gọi E là trung điểm của AB và H là tâm của hình vuông ABCD. Khi ấy SHE là tam giác vuông tại H và . Vậy góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy (ABCD) là .
Đặt thì .
Tương tự như trên ta có góc giữa các mặt phẳng chứa mỗi mặt bên còn lại của hình chóp với mặt phẳng đáy (ABCD) cũng bằng α và .
● Khi h = a thì góc tạo bởi mỗi mặt phẳng chứa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng α và tanα = 2.
Kẻ thì ta có .
Vậy góc giữa mp(SBC) và mp(SDC) bằng hoặc .
Ta tính
Dễ thấy
Từ đó
Đặt thì
Vậy góc giữa mp(SBC) và mp(SCD) là mà .
Tương tự như trên, ta có góc giữa hai mặt chứa hai bên mặt bên liên tiếp cũng được xác định bởi β mà .
b) Vì (P) đi qua A và song song với CD nên (P) chứa cạnh AB. Do (P) vuông góc với (SCD) nên (P) chứa EF1 vuông góc với mặt phẳng (SCD). Dễ thấy F1 thuộc SF, trong đó F là trung điểm của CD.
Mặt khác (P) chia tam giác SCD thành hai phần mà tỉ số diện tích hai phần bằng nên .
Khi ấy thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bới (P) là hình thang cân ABC1D1 mà với đường cao EF1.
Ta có
Ta tính EF1
Vì
nên
Mặt khác
nên dễ thấy ,
từ đó .
Ta lại có .
Vậy .
Từ đó .
A) ● Gọi E là trung điểm của AB và H là tâm của hình vuông ABCD. Khi ấy SHE là tam giác vuông tại H và
Đặt
Tương tự như trên ta có góc giữa các mặt phẳng chứa mỗi mặt bên còn lại của hình chóp với mặt phẳng đáy (ABCD) cũng bằng α và
● Khi h = a thì góc tạo bởi mỗi mặt phẳng chứa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng α và tanα = 2.
Kẻ
Vậy góc giữa mp(SBC) và mp(SDC) bằng
Ta tính
Dễ thấy
Từ đó
Đặt
Vậy góc giữa mp(SBC) và mp(SCD) là
Tương tự như trên, ta có góc giữa hai mặt chứa hai bên mặt bên liên tiếp cũng được xác định bởi β mà
b) Vì (P) đi qua A và song song với CD nên (P) chứa cạnh AB. Do (P) vuông góc với (SCD) nên (P) chứa EF1 vuông góc với mặt phẳng (SCD). Dễ thấy F1 thuộc SF, trong đó F là trung điểm của CD.
Mặt khác (P) chia tam giác SCD thành hai phần mà tỉ số diện tích hai phần bằng
Khi ấy thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bới (P) là hình thang cân ABC1D1 mà
Ta có
Ta tính EF1
Vì
nên
Mặt khác
nên dễ thấy
từ đó
Ta lại có
Vậy
Từ đó