Câu 5.13 trang 180 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hàm số
                        \(f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + mx - 3\)
Tìm m để

Câu a​

 \(f'\left( x \right)\)  bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất;
Giải chi tiết:
Với mọi \(x \in R,\) ta có
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + m\)
Để \(f'(x)\) bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất ta phải tìm m sao cho \(f'(x)\) phải là tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) với hệ số \(a > 0\) và có nghiệm kép, tức là
\(\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow m = {4 \over 3}\)

Câu b​

\(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi x;
Giải chi tiết:
Để \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi x thì ta phải tìm m sao cho
\(\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m \le 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow m \ge {4 \over 3}\)

Câu c​

\(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {0; 2} \right)\)  
Giải chi tiết:
(h. 5.4) Để \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {0; 2} \right)\) thì ta phải tìm m sao cho số 0 và số 2 thuộc đoạn \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) (\({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của của \(f'(x)\)) tức là
\(\eqalign{& \left\{ \matrix{af'\left( 0 \right) \le 0 \hfill \cr af'\left(2 \right) \le 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{3. M \le 0 \hfill \cr3\left({4 + m} \right) \le 0 \hfill \cr}  \right.  \cr& \Leftrightarrow m \le  - 4. \cr} \)

Câu d​

\(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x > 0\)
Giải chi tiết:
Để \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x > 0\) thì ta phải xét hai trường hợp sau đây
\(\bullet \) Trường hợp thứ nhất (h. 5.5a)
Ta phải tìm \(m\)  sao cho tam thức bậc hai \(f'\left( x \right)\) vô nghiệm và có \(a > 0,\) tức là
\(\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m < 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow m > {4 \over 3}.\)
\(\bullet \) Trường hợp thứ hai (h. 5.5b)
Ta phải tìm \(m\) sao cho tam thức bậc hai \(f'\left( x \right)\) có \(a > 0\) đồng thời có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn các điều kiện \({x_1} \le {x_2} \le 0\), tức là
\(\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m \ge 0 \hfill \cr af'\left( 0 \right) = 3m \ge 0 \hfill \cr{S \over 2} - 0 = {2 \over 3} \le 0 \left(\text{ loại } \right) \hfill \cr}  \right.\)
Hệ vô nghiệm.

Chú ý. Về nguyên tắc phải xét hai trường hợp, dù trong bài này trường hợp thứ hai vô nghiệm.