Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan x.\) Tính \({f^{\left( n \right)}}\left(x \right)\) với n = 1,2,3.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\tan x} \right)' = 1 + {\tan ^2}x\)
Lời giải chi tiết:
f’(x) = 1 + tan2​x
f’’(x) = 2tanx(1 + tan2​x) = 2tanx + 2tan3​x
f(3)​(x) = 2(1 + tan2​x) + 2.3tan2​x(1 + tan2​x)
= 2+ 2tan2​x + 6tan2​x+ 6tan4​x
= 2+ 8tan2​x+ 6tan4​x

Câu b​

Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left(x \right) =  - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)
Phương pháp giải:
Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Lời giải chi tiết:
\({f^{\left( {4n} \right)}}\left(x \right) =  - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)  (1)
Với n = 1 ta có:
\(\begin{array}{l}
f'\left(x \right) = 2\sin x\cos x= \sin 2x\\
f"\left(x \right) = 2\cos 2x\\
{f^{\left(3 \right)}}\left(x \right) = - 4\sin 2x\\
{f^{\left(4 \right)}}\left(x \right) = - 8\cos 2x =  - {2^{4.1 - 1}}\cos 2x
\end{array}\)
Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k tức là :  \({f^{\left( {4k} \right)}}\left(x \right) =  - {2^{4k - 1}}\cos 2x\)
Với n = k + 1 ta có :
\(\begin{array}{l}
{f^{\left({4k + 1} \right)}}\left(x \right) = \left({{f^{\left( {4k} \right)}}\left(x \right)} \right)' = {2^{4k}}\sin 2x\\
{f^{\left({4k + 2} \right)}}\left(x \right) = {2^{4k + 1}}\cos 2x\\
{f^{\left({4k + 3} \right)}}\left(x \right) = - {2^{4k + 2}}\sin 2x\\
{f^{\left({4k + 4} \right)}}\left(x \right) = - {2^{4k + 3}}\cos 2x \\=  - {2^{4\left({k + 1} \right) - 1}}\cos 2x
\end{array}\)
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.