Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng với mọi \(n ≥ 1\), ta có :
Phương pháp giải:
Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Lời giải chi tiết:
Cho \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\left({x \ne 0} \right).\) Ta hãy chứng minh công thức :
\({f^{\left( n \right)}}\left(x \right) = \frac{{{{\left({ - 1} \right)}^n}. N!}}{{{x^{n + 1}}}}\left({\forall x \ge 1} \right) \left(1 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.
+ Với \(n = 1\), ta có : \({f^{\left( n \right)}}\left(x \right) = f'\left(x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}}\) \(\text{ và } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}. N!}}{{{x^{n + 1}}}} = - \frac{1}{{{x^2}}}\)
Suy ra (1) đúng khi n = 1.
+ Giả sử (1) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là : \({f^{\left( k \right)}}\left(x \right) = \frac{{{{\left({ - 1} \right)}^k}. K!}}{{{x^{k + 1}}}}\),
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là :
\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left(x \right) = \frac{{{{\left({ - 1} \right)}^{k + 1}}.\left({k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)
Thật vậy, ta có :
\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left(x \right) = \left[ {{f^{\left(k \right)}}\left(x \right)} \right]' \)
\(= \left[ {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}. K!}}{{{x^{k + 1}}}}} \right]' \) \(= {\left( { - 1} \right)^k}. K!\frac{{ - \left({{x^{k + 1}}} \right)'}}{{{{\left({{x^{k + 1}}} \right)}^2}}} \) \(= {\left( { - 1} \right)^k}. K!.\frac{{\left({ - 1} \right).\left({k + 1} \right){x^k}}}{{{x^{2k + 2}}}} \) \(= \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left({k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)
Vậy ta có đpcm.
Lời giải chi tiết:
Cho \(f(x) = \cos x\). Ta hãy chứng minh công thức :
\({f^{\left( {4n} \right)}}\left(x \right) = \cos x\left({\forall n \ge 1} \right) \left(2 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.
Ta có: \(f'\left( x \right) = - \sin x; f"\left(x \right) = - \cos x;\)
\(f'''\left( x \right) = \sin x;{f^{\left(4 \right)}}\left(x \right) = \cos x\)
+ Với n = 1 thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left(x \right) = {f^{\left(4 \right)}}\left(x \right) = \cos x\)
Suy ra (2) đúng khi n = 1
+ Giả sử (2) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left(x \right) = \cos x,\)
Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :
\({f^{\left( {4\left( {k + 1} \right)} \right)}}\left(x \right) = \cos x\) \(\left( {hay {f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left(x \right) = \cos x} \right)\)
Thật vậy, vì :
\(\begin{array}{l}
{f^{\left({4k} \right)}}\left(x \right) = \cos x \\ \text{ nên } {f^{\left({4k + 1} \right)}}\left(x \right) = - \sin x\\
{f^{\left({4k + 2} \right)}}\left(x \right) = - \cos x\\
{f^{\left({4k + 3} \right)}}\left(x \right) = \sin x\\
{f^{\left({4k + 4} \right)}}\left(x \right) = \cos x
\end{array}\)
Vậy ta có đpcm.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
f'\left(x \right) = a{\mathop{\rm cosax}\nolimits} \\
f"\left(x \right) = - {a^2}\sin ax\\
{f^{\left(3 \right)}}\left(x \right) = - {a^3}\cos ax\\
{f^{\left(4 \right)}}\left(x \right) = {a^4}\sin ax
\end{array}\)
Với \(n = 1\) ta có \({f^{\left( 4 \right)}}\left(x \right) = {a^4}\sin ax,\) đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k\) tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left(x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)
Với \(n = k + 1\) ta có \({f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left(x \right) = {\left({{f^{\left( {4k} \right)}}} \right)^{\left(4 \right)}}\left(x \right) \) \(= {\left( {{a^{4k}}\sin ax} \right)^{\left(4 \right)}}\)
Do \({f^{\left( {4k} \right)}}\left(x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)
\(\begin{array}{l}
{f^{\left({4k + 1} \right)}}\left(x \right) = {a^{4k + 1}}\cos ax\\
{f^{\left({4k + 2} \right)}}\left(x \right) = - {a^{4k + 2}}\sin ax\\
{f^{\left({4k + 3} \right)}}\left(x \right) = - {a^{4k + 3}}\cos ax\\
{f^{\left({4k + 4} \right)}}\left(x \right) = {a^{4k + 4}}\sin ax
\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), do đó đẳng thức đúng với mọi n.
Câu a
Nếu \(f\left( x \right) = \frac{1}{x} \text{ thì } {f^{\left(n \right)}}\left(x \right) = \frac{{{{\left({ - 1} \right)}^n}. N!}}{{{x^{n + 1}}}}\)Phương pháp giải:
Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Lời giải chi tiết:
Cho \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\left({x \ne 0} \right).\) Ta hãy chứng minh công thức :
\({f^{\left( n \right)}}\left(x \right) = \frac{{{{\left({ - 1} \right)}^n}. N!}}{{{x^{n + 1}}}}\left({\forall x \ge 1} \right) \left(1 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.
+ Với \(n = 1\), ta có : \({f^{\left( n \right)}}\left(x \right) = f'\left(x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}}\) \(\text{ và } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}. N!}}{{{x^{n + 1}}}} = - \frac{1}{{{x^2}}}\)
Suy ra (1) đúng khi n = 1.
+ Giả sử (1) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là : \({f^{\left( k \right)}}\left(x \right) = \frac{{{{\left({ - 1} \right)}^k}. K!}}{{{x^{k + 1}}}}\),
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là :
\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left(x \right) = \frac{{{{\left({ - 1} \right)}^{k + 1}}.\left({k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)
Thật vậy, ta có :
\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left(x \right) = \left[ {{f^{\left(k \right)}}\left(x \right)} \right]' \)
\(= \left[ {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}. K!}}{{{x^{k + 1}}}}} \right]' \) \(= {\left( { - 1} \right)^k}. K!\frac{{ - \left({{x^{k + 1}}} \right)'}}{{{{\left({{x^{k + 1}}} \right)}^2}}} \) \(= {\left( { - 1} \right)^k}. K!.\frac{{\left({ - 1} \right).\left({k + 1} \right){x^k}}}{{{x^{2k + 2}}}} \) \(= \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left({k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)
Vậy ta có đpcm.
Câu b
Nếu \(f\left( x \right) = \cos x \text{ thì } {f^{\left({4n} \right)}}\left(x \right) = \cos x.\)Lời giải chi tiết:
Cho \(f(x) = \cos x\). Ta hãy chứng minh công thức :
\({f^{\left( {4n} \right)}}\left(x \right) = \cos x\left({\forall n \ge 1} \right) \left(2 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.
Ta có: \(f'\left( x \right) = - \sin x; f"\left(x \right) = - \cos x;\)
\(f'''\left( x \right) = \sin x;{f^{\left(4 \right)}}\left(x \right) = \cos x\)
+ Với n = 1 thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left(x \right) = {f^{\left(4 \right)}}\left(x \right) = \cos x\)
Suy ra (2) đúng khi n = 1
+ Giả sử (2) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left(x \right) = \cos x,\)
Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :
\({f^{\left( {4\left( {k + 1} \right)} \right)}}\left(x \right) = \cos x\) \(\left( {hay {f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left(x \right) = \cos x} \right)\)
Thật vậy, vì :
\(\begin{array}{l}
{f^{\left({4k} \right)}}\left(x \right) = \cos x \\ \text{ nên } {f^{\left({4k + 1} \right)}}\left(x \right) = - \sin x\\
{f^{\left({4k + 2} \right)}}\left(x \right) = - \cos x\\
{f^{\left({4k + 3} \right)}}\left(x \right) = \sin x\\
{f^{\left({4k + 4} \right)}}\left(x \right) = \cos x
\end{array}\)
Vậy ta có đpcm.
Câu c
Nếu \(f\left( x \right) = \sin ax\) (a là hằng số) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left(x \right) = {a^{4n}}\sin ax.\)Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
f'\left(x \right) = a{\mathop{\rm cosax}\nolimits} \\
f"\left(x \right) = - {a^2}\sin ax\\
{f^{\left(3 \right)}}\left(x \right) = - {a^3}\cos ax\\
{f^{\left(4 \right)}}\left(x \right) = {a^4}\sin ax
\end{array}\)
Với \(n = 1\) ta có \({f^{\left( 4 \right)}}\left(x \right) = {a^4}\sin ax,\) đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k\) tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left(x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)
Với \(n = k + 1\) ta có \({f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left(x \right) = {\left({{f^{\left( {4k} \right)}}} \right)^{\left(4 \right)}}\left(x \right) \) \(= {\left( {{a^{4k}}\sin ax} \right)^{\left(4 \right)}}\)
Do \({f^{\left( {4k} \right)}}\left(x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)
\(\begin{array}{l}
{f^{\left({4k + 1} \right)}}\left(x \right) = {a^{4k + 1}}\cos ax\\
{f^{\left({4k + 2} \right)}}\left(x \right) = - {a^{4k + 2}}\sin ax\\
{f^{\left({4k + 3} \right)}}\left(x \right) = - {a^{4k + 3}}\cos ax\\
{f^{\left({4k + 4} \right)}}\left(x \right) = {a^{4k + 4}}\sin ax
\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), do đó đẳng thức đúng với mọi n.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!