Google
Câu hỏi: Cho số thực a và dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi
\({u_1} = a, {u_{n + 1}} = 1 + {{{u_n}} \over 2}.\)
Tìm \(\lim {u_n}.\)
\({u_1} = a, {u_{n + 1}} = 1 + {{{u_n}} \over 2}.\)
Tìm \(\lim {u_n}.\)
Lời giải chi tiết
Ta có \({u_2} = 1 + {a \over 2}, {u_3} = 1 + {{{u_2}} \over 2} = 1 + {1 \over 2} + {a \over {{2^2}}}.\)
Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng chứng minh được rằng:
\({u_n} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + ... + {1 \over {{2^{n - 2}}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}},\) với mọi \(n \ge 3.\)
Do đó \({u_n} = {{1 - {1 \over {{2^{n - 1}}}}} \over {1 - {1 \over 2}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}} = 2 - {1 \over {{2^{n - 2}}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}},\) với mọi \(n \ge 3.\)
Vậy \(\lim {u_n} = 2.\)
Ta có \({u_2} = 1 + {a \over 2}, {u_3} = 1 + {{{u_2}} \over 2} = 1 + {1 \over 2} + {a \over {{2^2}}}.\)
Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng chứng minh được rằng:
\({u_n} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + ... + {1 \over {{2^{n - 2}}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}},\) với mọi \(n \ge 3.\)
Do đó \({u_n} = {{1 - {1 \over {{2^{n - 1}}}}} \over {1 - {1 \over 2}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}} = 2 - {1 \over {{2^{n - 2}}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}},\) với mọi \(n \ge 3.\)
Vậy \(\lim {u_n} = 2.\)