Câu 4.72 trang 148 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Tìm giới hạn của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với

Câu a​

\({u_n} = \sqrt {{{{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} \over {\left( {{n^2} + n} \right)\left({n + 2} \right)}}} \)          b)\({u_n} = {{{1^3} + {2^3} + ... + {n^3}} \over {\sqrt {{n^7} + 3{n^4} + 1} }}\)
Giải chi tiết:
\({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = {{n\left( {n + 1} \right)\left({2n + 1} \right)} \over 6}\)
\(\lim {u_n} = \lim \sqrt {{{n\left( {n + 1} \right)\left({2n + 1} \right)} \over {6n\left({n + 1} \right)\left({n + 2} \right)}}}  = {{\sqrt 3 } \over 3}\)

Câu b​

\({u_n} = \root 3 \of {n - 2{n^3}} \)    
Giải chi tiết:
\({1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over 4};\)
\(\lim {u_n} = \lim {{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over {4\sqrt {{n^7} + 3{n^4} + 1} }} = \lim {{{{\left({1 + {1 \over n}} \right)}^2}} \over {4\sqrt {{1 \over n} + {3 \over {{n^4}}} + {1 \over {{n^8}}}} }} =  + \infty \)

Câu c​

\({u_n} = {2^n} - {4.3^{n + 1}}\)
Giải chi tiết:
\(\lim {u_n} = {\mathop{\rm limn}\nolimits} .\root 3 \of {{1 \over {{n^2}}} - 2}  =  - \infty \)

Câu d​

\({u_n} = 100n - {2.5^n}\)      
Giải chi tiết:
\({u_n} = {3^n}\left[ {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 12} \right]\)  với mọi n ;
\(\lim u_n =- \infty ;\)

Câu e​

 \({u_n} = {{{3^n} - {4^{n + 1}}} \over {{2^{2n}} + {{10.3}^n} + 7}}.\)
Giải chi tiết:
Ta có \({2^{2n}} = {4^n}.\)  Do đó
\({u_n} = {{{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} - 4} \over {1 + 10{{\left({{3 \over 4}} \right)}^n} + {7 \over {{4^n}}}}}\) với mọi n.
Do đó   \(\lim {u_n} =  - 4.\)