Google
Câu hỏi: Cho hàm số \(f:\left[ {0; 1} \right] \to \left[ {0; 1} \right]\) liên tục. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực \(c \in \left[ {0; 1} \right]\) sao cho \(f\left( c \right) = c.\)
Lời giải chi tiết
Nếu \(f\left( 0\right) = 0\) hoặc \(f\left( 1 \right) = 1\) thì hiển nhiên điều khẳng định là đúng.
Giả sử \(f\left( 0 \right) \ne 0\) và \(f\left( 1 \right) \ne 1.\) Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left(x \right) - x, x \in \left[ {0; 1} \right].\) Hàm số \(g\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0; 1} \right].\) Vì mọi \(x \in \left[ {0; 1} \right], 0 \le f\left( x \right) \le 1\) nên \(f\left( 0 \right) > 0\) và \(f\left( 1 \right) < 1.\) Do đó
\(g\left( 0 \right) = f\left(0 \right) - 0 > 0\) và \(g\left( 1 \right) = f\left(1 \right) - 1 < 0.\)
Vì \(g\left( 0 \right), g\left(1 \right) < 1\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in \left( {0; 1} \right)\) sao cho \(g\left( c \right) = f\left(c \right) - c = 0,\) tức là \(f\left( c \right) = c.\)
Nếu \(f\left( 0\right) = 0\) hoặc \(f\left( 1 \right) = 1\) thì hiển nhiên điều khẳng định là đúng.
Giả sử \(f\left( 0 \right) \ne 0\) và \(f\left( 1 \right) \ne 1.\) Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left(x \right) - x, x \in \left[ {0; 1} \right].\) Hàm số \(g\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0; 1} \right].\) Vì mọi \(x \in \left[ {0; 1} \right], 0 \le f\left( x \right) \le 1\) nên \(f\left( 0 \right) > 0\) và \(f\left( 1 \right) < 1.\) Do đó
\(g\left( 0 \right) = f\left(0 \right) - 0 > 0\) và \(g\left( 1 \right) = f\left(1 \right) - 1 < 0.\)
Vì \(g\left( 0 \right), g\left(1 \right) < 1\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in \left( {0; 1} \right)\) sao cho \(g\left( c \right) = f\left(c \right) - c = 0,\) tức là \(f\left( c \right) = c.\)