Google
Câu hỏi: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình \(2x - 1 ≥ 0\).
\(2x - 1 + {1 \over {x - 3}} \ge {1 \over {x - 3}}\) và \(2x - 1 - {1 \over {x + 3}} \ge - {1 \over {x + 3}}\)
\(2x - 1 + {1 \over {x - 3}} \ge {1 \over {x - 3}}\) và \(2x - 1 - {1 \over {x + 3}} \ge - {1 \over {x + 3}}\)
Phương pháp giải
Giải các bất phương trình suy ra kết luận.
Hai bất phương trình tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 1 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)
Do đó, tập nghiệm của bpt \(2x - 1 \ge 0\) là \(S = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty)\).
Xét bpt \(2x - 1 + {1 \over {x - 3}} \ge {1 \over {x - 3}}\).
ĐK: \(x\ne 3\).
Ta có: \(2x - 1 + \frac{1}{{x - 3}} \ge \frac{1}{{x - 3}}\) \(\Rightarrow 2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)
Kết hợp \(x\ne 3\) ta được tập nghiệm của bpt là \(S_1 = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty)\)\(\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Dễ thấy \(S_1\) khác S nên hai bpt không tương đương.
Xét bpt \(2x - 1 - {1 \over {x + 3}} \ge - {1 \over {x + 3}}\).
ĐK: \(x\ne -3\)
Ta có: \(2x - 1 - \frac{1}{{x + 3}} \ge - \frac{1}{{x + 3}}\) \(\Rightarrow 2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)
Kết hợp điều kiện \(x\ne -3\) ta được \(S_3 = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty)=S\)
Vậy \(2x - 1 \ge 0 \) \(\Leftrightarrow 2x - 1 - {1 \over {x + 3}} \ge - {1 \over {x + 3}}\)
Giải các bất phương trình suy ra kết luận.
Hai bất phương trình tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 1 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)
Do đó, tập nghiệm của bpt \(2x - 1 \ge 0\) là \(S = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty)\).
Xét bpt \(2x - 1 + {1 \over {x - 3}} \ge {1 \over {x - 3}}\).
ĐK: \(x\ne 3\).
Ta có: \(2x - 1 + \frac{1}{{x - 3}} \ge \frac{1}{{x - 3}}\) \(\Rightarrow 2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)
Kết hợp \(x\ne 3\) ta được tập nghiệm của bpt là \(S_1 = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty)\)\(\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Dễ thấy \(S_1\) khác S nên hai bpt không tương đương.
Xét bpt \(2x - 1 - {1 \over {x + 3}} \ge - {1 \over {x + 3}}\).
ĐK: \(x\ne -3\)
Ta có: \(2x - 1 - \frac{1}{{x + 3}} \ge - \frac{1}{{x + 3}}\) \(\Rightarrow 2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)
Kết hợp điều kiện \(x\ne -3\) ta được \(S_3 = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty)=S\)
Vậy \(2x - 1 \ge 0 \) \(\Leftrightarrow 2x - 1 - {1 \over {x + 3}} \ge - {1 \over {x + 3}}\)