Google
Câu hỏi: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là \({5 \over 3},\) tổng ba số hạng đầu tiên của nó là \({{39} \over {25}}\) . Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.
Phương pháp giải
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\eqalign{
& S = {{{u_1}} \over {1 - q}} = {5 \over 3} \left(1 \right) \cr
& {u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1}\left({1 + q + {q^2}} \right) = {{39} \over {25}}\cr
& \Rightarrow {{{u_1}} \over {1 - q}}\left({1 - {q^3}} \right) = {{39} \over {25}} \left(2 \right) \cr} \)
Thay (1) vào (2) ta được :\({5 \over 3}\left( {1 - {q^3}} \right) = {{39} \over {25}}\) \(\Leftrightarrow 1 - {q^3} = \frac{{117}}{{125}} \Leftrightarrow {q^3} = \frac{8}{{125}}\) \(\Rightarrow q = {2 \over 5}\)
Từ (1) suy ra \({u_1} = \frac{5}{3}\left( {1 - q} \right) = \frac{5}{3}\left({1 - \frac{2}{5}} \right) = 1\).
Vậy \({u_1} = 1, q = {2 \over 5}\)
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\eqalign{
& S = {{{u_1}} \over {1 - q}} = {5 \over 3} \left(1 \right) \cr
& {u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1}\left({1 + q + {q^2}} \right) = {{39} \over {25}}\cr
& \Rightarrow {{{u_1}} \over {1 - q}}\left({1 - {q^3}} \right) = {{39} \over {25}} \left(2 \right) \cr} \)
Thay (1) vào (2) ta được :\({5 \over 3}\left( {1 - {q^3}} \right) = {{39} \over {25}}\) \(\Leftrightarrow 1 - {q^3} = \frac{{117}}{{125}} \Leftrightarrow {q^3} = \frac{8}{{125}}\) \(\Rightarrow q = {2 \over 5}\)
Từ (1) suy ra \({u_1} = \frac{5}{3}\left( {1 - q} \right) = \frac{5}{3}\left({1 - \frac{2}{5}} \right) = 1\).
Vậy \({u_1} = 1, q = {2 \over 5}\)