Câu hỏi: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, BC = b. Xét hai tia At, Ct’ cùng chiều và cùng vuông góc với mp(ABC). Lấy điểm M thuộc At, N thuộc Ct’ (M ≠ A, N ≠ C). Đặt AM = m, CN = n.
a) Tính góc giữa các mặt phẳng (MBD) và (NBD) với mặt phẳng (ABCD).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (NBD). Tìm hệ thức giữa a, b, m, n để hai mặt phẳng đó vuông góc.
c) Khi a = b và mp(MBD) vuông góc với mp(NBD), hãy tính đường cao OI của tam giác MON (trong đó O là giao điểm của AC và BD), từ đó suy ra hai mặt phẳng (BMN) và (DMN) vuông góc với nhau.
a) Tính góc giữa các mặt phẳng (MBD) và (NBD) với mặt phẳng (ABCD).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (NBD). Tìm hệ thức giữa a, b, m, n để hai mặt phẳng đó vuông góc.
c) Khi a = b và mp(MBD) vuông góc với mp(NBD), hãy tính đường cao OI của tam giác MON (trong đó O là giao điểm của AC và BD), từ đó suy ra hai mặt phẳng (BMN) và (DMN) vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết
A) Kẻ
Ta có MAH là tam giác vuông tại A nên
Vậy góc giữa mặt phẳng (MBD) và mặt phẳng (ABCD) là α mà
Tương tự, ta có
Vậy góc giữa mặt phẳng (NBD) và mặt phẳng (ABCD) là β mà
b) Kẻ Hx song song với KN, do AH // KC và At, Ct’ nằm về một phía của (ABCD) nên
Đặt
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (NBD) là φ mà
Từ đó, suy ra mặt phẳng (MBD) và mặt phẳng (NBD) vuông góc khi và chỉ khi
c)
Khi a = b thì H ≡ K ≡ O và
Gọi OI là đường cao của tam giác vuông OMN.
Ta có
Từ đó
Vậy BID là tam giác vuông tại I.
Mặt khác
Vì
A) Kẻ
Ta có MAH là tam giác vuông tại A nên
Vậy góc giữa mặt phẳng (MBD) và mặt phẳng (ABCD) là α mà
Tương tự, ta có
Vậy góc giữa mặt phẳng (NBD) và mặt phẳng (ABCD) là β mà
b) Kẻ Hx song song với KN, do AH // KC và At, Ct’ nằm về một phía của (ABCD) nên
Đặt
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (NBD) là φ mà
Từ đó, suy ra mặt phẳng (MBD) và mặt phẳng (NBD) vuông góc khi và chỉ khi
c)
Khi a = b thì H ≡ K ≡ O và
Gọi OI là đường cao của tam giác vuông OMN.
Ta có
Từ đó
Vậy BID là tam giác vuông tại I.
Mặt khác
Vì