Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng dãy số \(\displaystyle (u_n)\) với \(\displaystyle {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}}\) là một dãy số giảm và bị chặn.
Phương pháp giải
- Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\), chứng minh \(H<0\).
- Đánh giá \(u_{n}\) bị chặn dưới và bị chặn trên, tức là chỉ ra tồn tại các số thực \(m, M\) sao cho \(m \le {u_n} \le M\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\displaystyle \eqalign{
& {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}} = {{{2 \over 3}\left({3n + 2} \right) + {5 \over 3}} \over {3n + 2}} \cr&= {2 \over 3} + {5 \over {3\left({3n + 2} \right)}} \cr
} \)
\(\begin{array}{l}
u_{n+1}-u_n\\= \left({\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left[ {3\left( {n + 1} \right) + 2} \right]}}} \right) - \left({\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}} \right)\\
= \frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left({3n + 5} \right)}} - \frac{2}{3} - \frac{5}{{3\left({3n + 2} \right)}}\\
= \frac{5}{{3\left({3n + 5} \right)}} - \frac{5}{{3\left({3n + 2} \right)}}\\
= \frac{{5\left({3n + 2} \right) - 5\left({3n + 5} \right)}}{{3\left({3n + 5} \right)\left({3n + 2} \right)}}\\
= \frac{{ - 15}}{{3\left({3n + 5} \right)\left({3n + 2} \right)}}\\
= - \frac{5}{{\left({3n + 5} \right)\left({3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)
\(\displaystyle ⇒ (u_n)\) là dãy số giảm
Ta lại có:
+) \(\frac{{2n + 3}}{{3n + 2}} > 0,\forall n \in {N^*}\)
+) \(2n + 3 < 3n + 2,\forall n \in {N^*}\) vì \(2n + 3 - 3n - 2 = - n + 1 \le 0,\)\(\forall n \in {N^*}\)
Do đó \(\displaystyle 0 < {{2n + 3} \over {3n + 2}} \le 1 \forall n \in\mathbb N^*\)
Vậy \(\displaystyle (u_n)\) là dãy số giảm và bị chặn.
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
{u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n}\\
= \frac{{2\left({n + 1} \right) + 3}}{{3\left({n + 1} \right) + 2}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\
= \frac{{2n + 5}}{{3n + 5}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\
= \frac{{\left({2n + 5} \right)\left({3n + 2} \right) - \left({2n + 3} \right)\left({3n + 5} \right)}}{{\left({3n + 5} \right)\left({3n + 2} \right)}}\\
= \frac{{6{n^2} + 19n + 10 - 6{n^2} - 19n - 15}}{{\left({3n + 5} \right)\left({3n + 2} \right)}}\\
= \frac{{ - 5}}{{\left({3n + 5} \right)\left({3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)
Do đó \((u_n)\) là dãy số giảm.
- Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\), chứng minh \(H<0\).
- Đánh giá \(u_{n}\) bị chặn dưới và bị chặn trên, tức là chỉ ra tồn tại các số thực \(m, M\) sao cho \(m \le {u_n} \le M\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\displaystyle \eqalign{
& {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}} = {{{2 \over 3}\left({3n + 2} \right) + {5 \over 3}} \over {3n + 2}} \cr&= {2 \over 3} + {5 \over {3\left({3n + 2} \right)}} \cr
} \)
\(\begin{array}{l}
u_{n+1}-u_n\\= \left({\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left[ {3\left( {n + 1} \right) + 2} \right]}}} \right) - \left({\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}} \right)\\
= \frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left({3n + 5} \right)}} - \frac{2}{3} - \frac{5}{{3\left({3n + 2} \right)}}\\
= \frac{5}{{3\left({3n + 5} \right)}} - \frac{5}{{3\left({3n + 2} \right)}}\\
= \frac{{5\left({3n + 2} \right) - 5\left({3n + 5} \right)}}{{3\left({3n + 5} \right)\left({3n + 2} \right)}}\\
= \frac{{ - 15}}{{3\left({3n + 5} \right)\left({3n + 2} \right)}}\\
= - \frac{5}{{\left({3n + 5} \right)\left({3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)
\(\displaystyle ⇒ (u_n)\) là dãy số giảm
Ta lại có:
+) \(\frac{{2n + 3}}{{3n + 2}} > 0,\forall n \in {N^*}\)
+) \(2n + 3 < 3n + 2,\forall n \in {N^*}\) vì \(2n + 3 - 3n - 2 = - n + 1 \le 0,\)\(\forall n \in {N^*}\)
Do đó \(\displaystyle 0 < {{2n + 3} \over {3n + 2}} \le 1 \forall n \in\mathbb N^*\)
Vậy \(\displaystyle (u_n)\) là dãy số giảm và bị chặn.
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
{u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n}\\
= \frac{{2\left({n + 1} \right) + 3}}{{3\left({n + 1} \right) + 2}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\
= \frac{{2n + 5}}{{3n + 5}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\
= \frac{{\left({2n + 5} \right)\left({3n + 2} \right) - \left({2n + 3} \right)\left({3n + 5} \right)}}{{\left({3n + 5} \right)\left({3n + 2} \right)}}\\
= \frac{{6{n^2} + 19n + 10 - 6{n^2} - 19n - 15}}{{\left({3n + 5} \right)\left({3n + 2} \right)}}\\
= \frac{{ - 5}}{{\left({3n + 5} \right)\left({3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)
Do đó \((u_n)\) là dãy số giảm.