Câu 16 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Cho dãy số (un​) xác định bởi
\({u_1} = 1 \text{ và } {u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){. 2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\)

Câu a​

Chứng minh rằng (un​) là một dãy số tăng.
Lời giải chi tiết:
Từ hệ thức xác định dãy số (un​), ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right){. 2^n} > 0 \forall n \ge 1.\)
Do đó (un​) là một dãy số tăng.

Câu b​

Chứng minh rằng
\({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){. 2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\).
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh \({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){. 2^n}\)  (1) với mọi \(n ≥ 1\), bằng phương pháp qui nạp.
+) Với \(n = 1\), ta có \({u_1} = 1 = 1 + \left( {1 - 1} \right){. 2^1}.\) Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\)
+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in\mathbb N^*\), tức là:
\({u_k} = 1 + \left( {k - 1} \right){2^k}\)
+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\).
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un​) và giả thiết qui nạp, ta có :
\({u_{k + 1}} = {u_k} + \left( {k + 1} \right){. 2^k} \)
\(= 1 + \left( {k - 1} \right){. 2^k} + \left({k + 1} \right){. 2^k} \)
\( = 1 + k{. 2^k} - {2^k} + k{. 2^k} + {2^k} \)
\(= 1 + 2k{. 2^k}= 1 + k{. 2^{k + 1}}\)
Vậy (1) đúng với mọi \(n ≥ 1\).