Google
Câu hỏi: Cắt hình nón (N) đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $2a\sqrt{2}$. Biết BC là một dây cung đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy của hình nón một góc $60{}^\circ $. Tính diện tích tam giác SBC .
A. $\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}.$
B. $\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{9}.$
C. $\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{9}.$
Theo đề ta có tam giác SAB vuông cân tại S với $AB=2a\sqrt{2}$.
$SA=SB=SC=2a,SO=OB=a\sqrt{2}$
Góc giữa (SBC) và mặt đáy là $\widehat{SMO}=60{}^\circ $.
Trong tam giác vuông OSM ta có
$SM=\dfrac{SO}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3},OM=\dfrac{SO}{\tan 60{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Trong tam giác vuông MOB ta có
$BM=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.$
Diện tích tam giác SBC là $S=BM.SM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$.
A. $\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}.$
B. $\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{9}.$
C. $\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{9}.$
Theo đề ta có tam giác SAB vuông cân tại S với $AB=2a\sqrt{2}$.
$SA=SB=SC=2a,SO=OB=a\sqrt{2}$
Góc giữa (SBC) và mặt đáy là $\widehat{SMO}=60{}^\circ $.
Trong tam giác vuông OSM ta có
$SM=\dfrac{SO}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3},OM=\dfrac{SO}{\tan 60{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Trong tam giác vuông MOB ta có
$BM=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.$
Diện tích tam giác SBC là $S=BM.SM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$.
Đáp án A.