Google
Câu hỏi: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc ${{60}^{0}}$ được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $4.$ Tính thể tích của khối nón ban đầu.
A. $V=\dfrac{10\sqrt{3} \pi }{3}.$
B. $V=\dfrac{5\sqrt{3} }{3}.$
C. $V=\dfrac{\sqrt{3} \pi }{3}.$
D. $V=\dfrac{5\sqrt{3} \pi }{3}.$
Giả sử hình nón đỉnh $\left( S \right)$ tâm $O$, thiết diện qua đỉnh ở giả thiết là tam giác vuông cân $SAB$.
Gọi $K$ là trung điểm của $AB$, suy ra góc giữa $\left( SAB \right)$ và mặt đáy là $\widehat{SKO}=60{}^\circ $.
Ta có $AB=4\Rightarrow SK=\dfrac{1}{2}AB=2$ và $SA=SB=2\sqrt{2}$.
Tam giác $SKO$ vuông tại $O:SO=SK.\tan \widehat{SKO}=\sqrt{3}$.
Tam giác $SAO$ vuông tại $O:AO=\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{5}$.
Thể tích khối nón $V=\dfrac{1}{3}\pi .A{{O}^{2}}.SO=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\pi $.
A. $V=\dfrac{10\sqrt{3} \pi }{3}.$
B. $V=\dfrac{5\sqrt{3} }{3}.$
C. $V=\dfrac{\sqrt{3} \pi }{3}.$
D. $V=\dfrac{5\sqrt{3} \pi }{3}.$
Gọi $K$ là trung điểm của $AB$, suy ra góc giữa $\left( SAB \right)$ và mặt đáy là $\widehat{SKO}=60{}^\circ $.
Ta có $AB=4\Rightarrow SK=\dfrac{1}{2}AB=2$ và $SA=SB=2\sqrt{2}$.
Tam giác $SKO$ vuông tại $O:SO=SK.\tan \widehat{SKO}=\sqrt{3}$.
Tam giác $SAO$ vuông tại $O:AO=\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{5}$.
Thể tích khối nón $V=\dfrac{1}{3}\pi .A{{O}^{2}}.SO=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\pi $.
Đáp án D.