Google
Câu hỏi: Biết $\int\limits_{0}^{3}{\dfrac{x}{4+2\sqrt{x+1}}dx}=\dfrac{a}{3}+b\ln 2+c\ln 3$, trong đó $a,b,c$ là các số nguyên. Tính $T=a+b+c$.
A. $T=1$.
B. $T=4$.
C. $T=3$.
D. $T=6$.
Đặt $I=\int\limits_{0}^{3}{\dfrac{x}{4+2\sqrt{x+1}}dx}$,đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow x={{t}^{2}}-1\Rightarrow dx=2tdt$.
Đổi cận $x=0\Rightarrow t=1$ ; $x=3\Rightarrow t=2$.
Do đó $I=\int\limits_{0}^{3}{\dfrac{x}{4+2\sqrt{x+1}}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{t}^{2}}-1}{4+2t}2tdt}=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{t}^{3}}-t}{t+2}dt}=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{t}^{2}}-2t+3-\dfrac{6}{t+2} \right)dt}$
$=\left. \left( \dfrac{1}{3}{{t}^{3}}-{{t}^{2}}+3t-6\ln \left( t+2 \right) \right) \right|_{1}^{2}=\left( \dfrac{8}{3}-4+6-6\ln 4 \right)-\left( \dfrac{1}{3}-1+3-6\ln 3 \right)=\dfrac{7}{3}-12\ln 2+6\ln 3$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=7 \\
& b=-12 \\
& c=6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=a+b+c=1$.
A. $T=1$.
B. $T=4$.
C. $T=3$.
D. $T=6$.
Đặt $I=\int\limits_{0}^{3}{\dfrac{x}{4+2\sqrt{x+1}}dx}$,đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow x={{t}^{2}}-1\Rightarrow dx=2tdt$.
Đổi cận $x=0\Rightarrow t=1$ ; $x=3\Rightarrow t=2$.
Do đó $I=\int\limits_{0}^{3}{\dfrac{x}{4+2\sqrt{x+1}}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{t}^{2}}-1}{4+2t}2tdt}=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{t}^{3}}-t}{t+2}dt}=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{t}^{2}}-2t+3-\dfrac{6}{t+2} \right)dt}$
$=\left. \left( \dfrac{1}{3}{{t}^{3}}-{{t}^{2}}+3t-6\ln \left( t+2 \right) \right) \right|_{1}^{2}=\left( \dfrac{8}{3}-4+6-6\ln 4 \right)-\left( \dfrac{1}{3}-1+3-6\ln 3 \right)=\dfrac{7}{3}-12\ln 2+6\ln 3$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=7 \\
& b=-12 \\
& c=6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=a+b+c=1$.
Đáp án A.