Biết ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{\log...

Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& x\ne \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${{\log }_{7}}\left( \dfrac{4{{x}^{2}}-4x+1}{2x} \right)+4{{x}^{2}}+1=6x\Leftrightarrow {{\log }_{7}}\left[ \dfrac{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}{2x} \right]+4{{x}^{2}}-4x+1=2x$
$\Leftrightarrow {{\log }_{7}}{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{7}}2x+2x$ (1)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{7}}t+t\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 7}+1>0$ với $t>0$.
Vậy hàm số đồng biến với $t>0$.
Phương trình (1) trở thành $f\left( {{\left( 2x-1 \right)}^{2}} \right)=f\left( 2x \right)\Leftrightarrow {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}=2x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4} \\
& x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\left[ \begin{aligned}
& \dfrac{9-\sqrt{5}}{4}\left( l \right) \\
& \dfrac{9+\sqrt{5}}{4}\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a=9;b=5\Rightarrow a+b=9+5=14$.