Google
Câu hỏi: Biết số phức $z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-2-4i \right|=\left| z-2i \right|$ có môđun nhỏ nhất. Tính $M={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.
A. $M=16$.
B. $M=10$.
C. $M=8$.
D. $M=26$.
A. $M=16$.
B. $M=10$.
C. $M=8$.
D. $M=26$.
Gọi $z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$. Ta có $\left| z-2-4i \right|=\left| z-2i \right|\Leftrightarrow \left| a+bi-2-4i \right|=\left| a+bi-2i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow a+b-4=0$.
$\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 4-a \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{\left( a-2 \right)}^{2}}+8}\ge 2\sqrt{2}$.
Vậy $\left| z \right|$ nhỏ nhất khi $a=2,b=2$. Khi đó $M={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=8$.
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow a+b-4=0$.
$\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 4-a \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{\left( a-2 \right)}^{2}}+8}\ge 2\sqrt{2}$.
Vậy $\left| z \right|$ nhỏ nhất khi $a=2,b=2$. Khi đó $M={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=8$.
Đáp án C.