Google
Câu hỏi: Biết rằng $x\sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( -x \right)$ trên khoảng $\mathbb{R}$.Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $\left[ {f}'\left( x \right)+{f}'\left( \pi -x \right) \right]\cos x$ thoả mãn $F\left( 0 \right)=0$, giá trị của $F\left( \dfrac{\pi }{4} \right)$ bằng
A. 0.
B. $\pi .$
C. $\dfrac{\pi }{4}.$
D. $\dfrac{\pi }{2}.$
A. 0.
B. $\pi .$
C. $\dfrac{\pi }{4}.$
D. $\dfrac{\pi }{2}.$
Ta có $f\left( -x \right)={{\left( x.\sin x \right)}^{\prime }}=\sin x+x\cos x\Rightarrow f\left( x \right)=-\sin x-x\cos x$
Do đó ${f}'\left( x \right)=x\sin x-2\cos x\Rightarrow {f}'\left( \pi -x \right)=\left( \pi -x \right)\sin x+2\cos x$
$\xrightarrow{{}}{f}'\left( x \right)+{f}'\left( \pi -x \right)=\pi \sin x\Rightarrow \left[ {f}'\left( x \right)+{f}'\left( \pi -x \right) \right]\cos x=\dfrac{\pi \sin 2x}{2}$
Do đó $F\left( x \right)=\int{\dfrac{\pi \sin 2x}{2}dx}=\dfrac{\pi }{2}\int{\sin 2xdx}=-\dfrac{\pi \cos 2x}{4}+{{C}_{0}}$
Mà $F\left( 0 \right)=0\xrightarrow{{}}{{C}_{0}}=\dfrac{\pi }{4}$ nên $F\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=-\dfrac{\pi }{4}\cos \dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{\pi }{4}$.
Do đó ${f}'\left( x \right)=x\sin x-2\cos x\Rightarrow {f}'\left( \pi -x \right)=\left( \pi -x \right)\sin x+2\cos x$
$\xrightarrow{{}}{f}'\left( x \right)+{f}'\left( \pi -x \right)=\pi \sin x\Rightarrow \left[ {f}'\left( x \right)+{f}'\left( \pi -x \right) \right]\cos x=\dfrac{\pi \sin 2x}{2}$
Do đó $F\left( x \right)=\int{\dfrac{\pi \sin 2x}{2}dx}=\dfrac{\pi }{2}\int{\sin 2xdx}=-\dfrac{\pi \cos 2x}{4}+{{C}_{0}}$
Mà $F\left( 0 \right)=0\xrightarrow{{}}{{C}_{0}}=\dfrac{\pi }{4}$ nên $F\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=-\dfrac{\pi }{4}\cos \dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{\pi }{4}$.
Đáp án C.