Google
Câu hỏi: Biết rằng với mỗi số thực $x$ thì phương trình ${{t}^{3}}+tx-27=0 (1)$ có nghiệm dương duy nhất $t=t\left( x \right)$ (với $t\left( x \right)$ là hàm liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right)$ ). Giá trị của $I=\int\limits_{0}^{26}{{{\left[ t\left( x \right) \right]}^{2}}dx}$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( 20;40 \right)$
B. $\left( 40;60 \right)$
C. $\left( 60;90 \right)$
D. $\left( 90;100 \right)$
A. $\left( 20;40 \right)$
B. $\left( 40;60 \right)$
C. $\left( 60;90 \right)$
D. $\left( 90;100 \right)$
${{t}^{3}}+tx-27=0\Leftrightarrow x=\dfrac{27}{t}-{{t}^{2}}\Rightarrow dx=-\left( \dfrac{27}{{{t}^{2}}}+2t \right)dt$
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0;(1)\Leftrightarrow {{t}^{3}}-27=0\Leftrightarrow t=3 \\
& x=26;(1)\Leftrightarrow {{t}^{3}}+26t-27=0\Leftrightarrow t=1 \\
\end{aligned} \right.$
$I=\int\limits_{0}^{26}{{{\left[ t\left( x \right) \right]}^{2}}dx}=\int\limits_{0}^{26}{{{t}^{2}}dx}=\int\limits_{3}^{1}{{{t}^{2}}\left[ -\left( \dfrac{27}{{{t}^{2}}}+2t \right) \right]dt}=\int\limits_{1}^{3}{\left( 27+2{{t}^{3}} \right)dt}=94$
$\Rightarrow I=94\in \left( 90;100 \right)$
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0;(1)\Leftrightarrow {{t}^{3}}-27=0\Leftrightarrow t=3 \\
& x=26;(1)\Leftrightarrow {{t}^{3}}+26t-27=0\Leftrightarrow t=1 \\
\end{aligned} \right.$
$I=\int\limits_{0}^{26}{{{\left[ t\left( x \right) \right]}^{2}}dx}=\int\limits_{0}^{26}{{{t}^{2}}dx}=\int\limits_{3}^{1}{{{t}^{2}}\left[ -\left( \dfrac{27}{{{t}^{2}}}+2t \right) \right]dt}=\int\limits_{1}^{3}{\left( 27+2{{t}^{3}} \right)dt}=94$
$\Rightarrow I=94\in \left( 90;100 \right)$
Đáp án D.