Google
Câu hỏi: Biết rằng khi $m={{m}_{0}}$ thì đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-m{{x}^{2}}$ có ba điểm cực trị đồng thời đường tròn đi qua ba điểm đó có bán kính nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ${{m}_{0}}\in \left( 0;1 \right]$
B. ${{m}_{0}}\in \left( -1;0 \right)$
C. ${{m}_{0}}\in \left( 1;3 \right)$
D. ${{m}_{0}}\in \left[ 3;5 \right)$
A. ${{m}_{0}}\in \left( 0;1 \right]$
B. ${{m}_{0}}\in \left( -1;0 \right)$
C. ${{m}_{0}}\in \left( 1;3 \right)$
D. ${{m}_{0}}\in \left[ 3;5 \right)$
Ta có $y'=4{{x}^{3}}-2mx=2x\left( 2{{x}^{2}}-m \right)$
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $m>0$
Khi đó $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\left( y=0 \right) \\
& x=-\sqrt{\dfrac{m}{2}}\left( y=-\dfrac{{{m}^{2}}}{2} \right) \\
& x=\sqrt{\dfrac{m}{2}}\left( y=-\dfrac{{{m}^{2}}}{2} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $A\left( 0;0 \right),B\left( -\sqrt{\dfrac{m}{2}};-\dfrac{{{m}^{2}}}{4} \right),C\left( \sqrt{\dfrac{m}{2}};-\dfrac{{{m}^{2}}}{4} \right)$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
Gọi H là trung điểm của BC $\Rightarrow H\left( 0;-\dfrac{{{m}^{2}}}{4} \right)$
Ta có $AB=AC=\sqrt{\dfrac{{{m}^{4}}}{16}+\dfrac{m}{2}},AH=\sqrt{\dfrac{{{m}^{4}}}{16}}=\dfrac{{{m}^{2}}}{4}$
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
$\begin{aligned}
& \Rightarrow S=\dfrac{AB.BC.CA}{4R}\Rightarrow R=\dfrac{AB.BC.CA}{4.\dfrac{1}{2}.AH.BC}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{2.AH}\Rightarrow 2R=\dfrac{A{{B}^{2}}}{AH}\Rightarrow 2R=\dfrac{{{m}^{4}}+8m}{4{{m}^{2}}} \\
& \Rightarrow 8R=\dfrac{{{m}^{4}}+8m}{{{m}^{2}}}={{m}^{2}}+\dfrac{8}{m}={{m}^{2}}+\dfrac{4}{m}+\dfrac{4}{m}\ge 3\sqrt[3]{16} \\
\end{aligned}$
Vậy ${{R}_{\min }}=\dfrac{3}{8}.\sqrt[3]{16}$, đạt được khi ${{m}^{2}}=\dfrac{4}{m}\Leftrightarrow m=\sqrt[3]{4}$ (thỏa điều kiện). Vậy ${{m}_{0}}=\sqrt[3]{4}\in \left( 1;3 \right)$
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $m>0$
Khi đó $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\left( y=0 \right) \\
& x=-\sqrt{\dfrac{m}{2}}\left( y=-\dfrac{{{m}^{2}}}{2} \right) \\
& x=\sqrt{\dfrac{m}{2}}\left( y=-\dfrac{{{m}^{2}}}{2} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $A\left( 0;0 \right),B\left( -\sqrt{\dfrac{m}{2}};-\dfrac{{{m}^{2}}}{4} \right),C\left( \sqrt{\dfrac{m}{2}};-\dfrac{{{m}^{2}}}{4} \right)$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
Gọi H là trung điểm của BC $\Rightarrow H\left( 0;-\dfrac{{{m}^{2}}}{4} \right)$
Ta có $AB=AC=\sqrt{\dfrac{{{m}^{4}}}{16}+\dfrac{m}{2}},AH=\sqrt{\dfrac{{{m}^{4}}}{16}}=\dfrac{{{m}^{2}}}{4}$
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
$\begin{aligned}
& \Rightarrow S=\dfrac{AB.BC.CA}{4R}\Rightarrow R=\dfrac{AB.BC.CA}{4.\dfrac{1}{2}.AH.BC}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{2.AH}\Rightarrow 2R=\dfrac{A{{B}^{2}}}{AH}\Rightarrow 2R=\dfrac{{{m}^{4}}+8m}{4{{m}^{2}}} \\
& \Rightarrow 8R=\dfrac{{{m}^{4}}+8m}{{{m}^{2}}}={{m}^{2}}+\dfrac{8}{m}={{m}^{2}}+\dfrac{4}{m}+\dfrac{4}{m}\ge 3\sqrt[3]{16} \\
\end{aligned}$
Vậy ${{R}_{\min }}=\dfrac{3}{8}.\sqrt[3]{16}$, đạt được khi ${{m}^{2}}=\dfrac{4}{m}\Leftrightarrow m=\sqrt[3]{4}$ (thỏa điều kiện). Vậy ${{m}_{0}}=\sqrt[3]{4}\in \left( 1;3 \right)$
Đáp án C.