Biết rằng hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx+m$ chỉ nghịch biến...

TXĐ: $D=\mathbb{R}.$ Ta có $y'=3{{x}^{2}}+6x+m$
Do $a=3>0$ nên để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3 thì $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn: $\left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|=3$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '>0 \\
& \left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 9-3m>0 \\
& {{\left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<3 \\
& {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<3 \\
& {{\left( -2 \right)}^{2}}-4.\dfrac{m}{3}=9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<3 \\
& m=-\dfrac{15}{4} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-\dfrac{15}{4} \\
\end{aligned}$