Google
Câu hỏi: Biết rằng hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-3-4i \right|=1$ và $\left| {{z}_{2}}-3-4i \right|=\dfrac{1}{2}$. Số phức $z$ có phần thực là $a$ và phần ảo là $b$ thỏa mãn $3a-2b=12$. Giá trị nhỏ nhất của $P=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-2{{z}_{2}} \right|+2$ bằng
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{9945}}{11}$.
B. ${{P}_{\min }}=5-2\sqrt{3}$.
C. ${{P}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{9945}}{13}$.
D. ${{P}_{\min }}=5+2\sqrt{5}$.
Nhận xét điểm biểu diễn $M\left( x;y \right)$ của $z$ nằm trên $\left( d \right):3x-2y=12$
Đặt ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i,{{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$ là điểm biểu diễn ${{z}_{1}}$,
${{M}_{1}}\in \left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=1$.
Đặt ${{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i,{{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ là điểm biểu diễn ${{z}_{2}}$,
${{M}_{2}}\in \left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}$.
Đặt ${{z}_{3}}={{x}_{3}}+{{y}_{3}}i=2{{z}_{2}}=2{{x}_{2}}+2{{y}_{2}}i\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}=\dfrac{{{x}_{3}}}{2} \\
& {{y}_{2}}=\dfrac{{{y}_{3}}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Mà ${{M}_{2}}\in \left( {{C}_{2}} \right)\Rightarrow {{M}_{3}}\in \left( {{C}_{3}} \right):{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}=1$.
Khi đó $P=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-2{{z}_{2}} \right|+2=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{3}} \right|+2$.
Gọi $\left( {{C}_{4}} \right)$ là đường tròn đối xứng của $\left( {{C}_{1}} \right)$ qua $\left( d \right)$.
$\left( {{C}_{4}} \right):{{\left( x-\dfrac{105}{13} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{8}{13} \right)}^{2}}=1$.
$P=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{3}} \right|+2=\left| z-{{z}_{4}} \right|+\left| z-{{z}_{3}} \right|+2=M{{M}_{4}}+M{{M}_{3}}+2$.
${{P}_{\min }}\Leftrightarrow {{{I}'}_{1}},{{I}_{3}},M,{{{M}'}_{1}},{{M}_{3}}$ thẳng hàng $\Rightarrow {{P}_{\min }}=\left( M{{M}_{4}}+1 \right)+\left( M{{M}_{3}}+1 \right)={{I}_{3}}{{I}_{4}}=\dfrac{\sqrt{9945}}{13}$
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{9945}}{11}$.
B. ${{P}_{\min }}=5-2\sqrt{3}$.
C. ${{P}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{9945}}{13}$.
D. ${{P}_{\min }}=5+2\sqrt{5}$.
Nhận xét điểm biểu diễn $M\left( x;y \right)$ của $z$ nằm trên $\left( d \right):3x-2y=12$
Đặt ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i,{{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$ là điểm biểu diễn ${{z}_{1}}$,
${{M}_{1}}\in \left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=1$.
Đặt ${{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i,{{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ là điểm biểu diễn ${{z}_{2}}$,
${{M}_{2}}\in \left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}$.
Đặt ${{z}_{3}}={{x}_{3}}+{{y}_{3}}i=2{{z}_{2}}=2{{x}_{2}}+2{{y}_{2}}i\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}=\dfrac{{{x}_{3}}}{2} \\
& {{y}_{2}}=\dfrac{{{y}_{3}}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Mà ${{M}_{2}}\in \left( {{C}_{2}} \right)\Rightarrow {{M}_{3}}\in \left( {{C}_{3}} \right):{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}=1$.
Khi đó $P=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-2{{z}_{2}} \right|+2=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{3}} \right|+2$.
Gọi $\left( {{C}_{4}} \right)$ là đường tròn đối xứng của $\left( {{C}_{1}} \right)$ qua $\left( d \right)$.
$\left( {{C}_{4}} \right):{{\left( x-\dfrac{105}{13} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{8}{13} \right)}^{2}}=1$.
$P=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{3}} \right|+2=\left| z-{{z}_{4}} \right|+\left| z-{{z}_{3}} \right|+2=M{{M}_{4}}+M{{M}_{3}}+2$.
${{P}_{\min }}\Leftrightarrow {{{I}'}_{1}},{{I}_{3}},M,{{{M}'}_{1}},{{M}_{3}}$ thẳng hàng $\Rightarrow {{P}_{\min }}=\left( M{{M}_{4}}+1 \right)+\left( M{{M}_{3}}+1 \right)={{I}_{3}}{{I}_{4}}=\dfrac{\sqrt{9945}}{13}$
Đáp án C.