Biết rằng hai số phức $z_1$, $z_2$ thỏa mãn $\left|...

Gọi $M_1$, $M_2$, $M$ lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức $z_1$, $2z_2$, $z$ trên hệ trục tọa độ $Oxy$. Khi đó quỹ tích của điểm $M_1$ là đường tròn $\left(C_1\right)$ tâm $I(3;4)$, bán kính $R=1$ ;
quỹ tích của điểm $M_2$ là đường $\left(C_2\right)$ tròn tâm $I(6;8)$, bán kính $R=1$ ;
quỹ tích của điểm $M$ là đường thẳng $d:3x-2y-12=0$.
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $M{M}_1+M{M}_2+2$.

Gọi $\left(C_3\right)$ có tâm $I_3({\displaystyle \frac{138}{13}};{\displaystyle \frac{64}{13}})$, $R=1$ là đường tròn đối xứng với $\left(C_2\right)$ qua $d$. Khi đó $min(M{M}_1+M{M}_2+2)=min(M{M}_1+M{M}_3+2)$ với $M_3\in \left(C_3\right)$.
Gọi $A$, $B$ lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng $I_1{I}_3$ với $\left(C_1\right)$, $\left(C_3\right)$. Khi đó với mọi điểm $M_1\in \left(C_1\right)$, $M_3\in \left(C_3\right)$, $M\in d$ ta có $M{M}_1+M{M}_3+2\ge AB+2$, dấu "=" xảy ra khi $M_1\equiv A,M_3\equiv B$.
Do đó $P_{min}=AB+2=I_1{I}_3-2+2$ $=I_1{I}_3={\displaystyle \frac{\sqrt{9945}}{13}}$.