Google
Câu hỏi: Biết rằng hai số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-3-4\text{i} \right|=1$ và $\left| {{z}_{2}}-3-4\text{i} \right|=\dfrac{1}{2}$. Số phức $z$ có phần thực là $a$ và phần ảo là $b$ thỏa mãn $3a-2b=12$. Giá trị nhỏ nhất của $P=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-2{{z}_{2}} \right|+2$ bằng:
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{9945}}{11}$.
B. ${{P}_{\min }}=5-2\sqrt{3}$.
C. ${{P}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{9945}}{13}$.
D. ${{P}_{\min }}=5+2\sqrt{5}$.
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{9945}}{11}$.
B. ${{P}_{\min }}=5-2\sqrt{3}$.
C. ${{P}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{9945}}{13}$.
D. ${{P}_{\min }}=5+2\sqrt{5}$.
Gọi ${{M}_{1}}$, ${{M}_{2}}$, $M$ lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{1}}$, $2{{z}_{2}}$, $z$ trên hệ trục tọa độ $Oxy$. Khi đó quỹ tích của điểm ${{M}_{1}}$ là đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $R=1$ ;
quỹ tích của điểm ${{M}_{2}}$ là đường $\left( {{C}_{2}} \right)$ tròn tâm $I\left( 6;8 \right)$, bán kính $R=1$ ;
quỹ tích của điểm $M$ là đường thẳng $d:3x-2y-12=0$.
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2$.
Gọi $\left( {{C}_{3}} \right)$ có tâm ${{I}_{3}}\left( \dfrac{138}{13};\dfrac{64}{13} \right)$, $R=1$ là đường tròn đối xứng với $\left( {{C}_{2}} \right)$ qua $d$. Khi đó $\min \left( M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2 \right)=\min \left( M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2 \right)$ với ${{M}_{3}}\in \left( {{C}_{3}} \right)$.
Gọi $A$, $B$ lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng ${{I}_{1}}{{I}_{3}}$ với $\left( {{C}_{1}} \right)$, $\left( {{C}_{3}} \right)$. Khi đó với mọi điểm ${{M}_{1}}\in \left( {{C}_{1}} \right)$, ${{M}_{3}}\in \left( {{C}_{3}} \right)$, $M\in d$ ta có $M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2\ge AB+2$, dấu "=" xảy ra khi ${{M}_{1}}\equiv A,{{M}_{3}}\equiv B$.
Do đó ${{P}_{\min }}=AB+2={{I}_{1}}{{I}_{3}}-2+2$ $={{I}_{1}}{{I}_{3}}=\dfrac{\sqrt{9945}}{13}$.
quỹ tích của điểm ${{M}_{2}}$ là đường $\left( {{C}_{2}} \right)$ tròn tâm $I\left( 6;8 \right)$, bán kính $R=1$ ;
quỹ tích của điểm $M$ là đường thẳng $d:3x-2y-12=0$.
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2$.
Gọi $\left( {{C}_{3}} \right)$ có tâm ${{I}_{3}}\left( \dfrac{138}{13};\dfrac{64}{13} \right)$, $R=1$ là đường tròn đối xứng với $\left( {{C}_{2}} \right)$ qua $d$. Khi đó $\min \left( M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2 \right)=\min \left( M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2 \right)$ với ${{M}_{3}}\in \left( {{C}_{3}} \right)$.
Gọi $A$, $B$ lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng ${{I}_{1}}{{I}_{3}}$ với $\left( {{C}_{1}} \right)$, $\left( {{C}_{3}} \right)$. Khi đó với mọi điểm ${{M}_{1}}\in \left( {{C}_{1}} \right)$, ${{M}_{3}}\in \left( {{C}_{3}} \right)$, $M\in d$ ta có $M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2\ge AB+2$, dấu "=" xảy ra khi ${{M}_{1}}\equiv A,{{M}_{3}}\equiv B$.
Do đó ${{P}_{\min }}=AB+2={{I}_{1}}{{I}_{3}}-2+2$ $={{I}_{1}}{{I}_{3}}=\dfrac{\sqrt{9945}}{13}$.
Đáp án C.