Google
Câu hỏi: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-38{{x}^{2}}+120x+4m \right|$ trên đoạn [0; 2] đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
A. (-20; -16).
B. (-16; -11).
C. (-11; -8).
D. (-8; -2).
A. (-20; -16).
B. (-16; -11).
C. (-11; -8).
D. (-8; -2).
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-38{{x}^{2}}+120x+4m$ với $x\in \left[ 0;2 \right]$.
$g'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-76x+120$.
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-5$ (loại) $\cup x=3$ (loại) $\cup x=2$.
Lập bảng biến thiên, ta có: $4m\le g\left( x \right)\le 4m+104;\forall x\in \left[ 0;2 \right].$
Ta có: $y=\left| g\left( x \right) \right|\le \max \left\{ \left| 4m \right|;\left| 4m+104 \right| \right\}$.
TH1: $\left| 4m \right|\le \left| 4m+104 \right|\Leftrightarrow m\ge -13\left( \alpha \right)$
+ Khi đó, ta có $\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=\left| 4m+104 \right|=4m+104$ (do $4m+104>0;\forall m\ge -13$ ).
Ta có $\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=4m+104\ge -4\left( -13 \right)+104=52$
TH2: $\left| 4m+104 \right|\le \left| 4m \right|\Leftrightarrow m\le -13\left( \alpha \right)$
+ Khi đó, ta có $\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=\left| 4m \right|=-4m$ ( do $4m<0;\forall m\le -13$ ).
Ta có $\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=-4m\ge 4\left( -13 \right)=52.$
Từ 2 TH trên, ta có $\min \left( \underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y \right)=52\Leftrightarrow m=-13\Rightarrow m\in \left( -16;-11 \right).$
$g'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-76x+120$.
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-5$ (loại) $\cup x=3$ (loại) $\cup x=2$.
Lập bảng biến thiên, ta có: $4m\le g\left( x \right)\le 4m+104;\forall x\in \left[ 0;2 \right].$
Ta có: $y=\left| g\left( x \right) \right|\le \max \left\{ \left| 4m \right|;\left| 4m+104 \right| \right\}$.
TH1: $\left| 4m \right|\le \left| 4m+104 \right|\Leftrightarrow m\ge -13\left( \alpha \right)$
+ Khi đó, ta có $\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=\left| 4m+104 \right|=4m+104$ (do $4m+104>0;\forall m\ge -13$ ).
Ta có $\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=4m+104\ge -4\left( -13 \right)+104=52$
TH2: $\left| 4m+104 \right|\le \left| 4m \right|\Leftrightarrow m\le -13\left( \alpha \right)$
+ Khi đó, ta có $\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=\left| 4m \right|=-4m$ ( do $4m<0;\forall m\le -13$ ).
Ta có $\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=-4m\ge 4\left( -13 \right)=52.$
Từ 2 TH trên, ta có $\min \left( \underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y \right)=52\Leftrightarrow m=-13\Rightarrow m\in \left( -16;-11 \right).$
Đáp án B.