Biết phương trình $x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ ...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Biết phương trình

x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

,

(a, b, c, d \in R)

nhận

(- \infty; - 1)

và

z_{2} = 1 + \sqrt{2} i

là nghiệm. Tính

a + b + c + d

.
A. 10.
B. 9.
C. –7.
D. 0.

• Xét phương trình

x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

(1)

,

(a, b, c, d \in R)

.
• Nhận thấy: Nếu z là nghiệm của

(1)

thì z cũng là nghiệm của

(1)

.
• Do đó,

(1)

có bốn nghiệm

z_{1} = - 1 + i

,

z_{2} = 1 + \sqrt{2} i

,

z_{3} = \overset{―}{z_{1}} = - 1 - i

,

z_{4} = \overset{―}{z_{2}} = 1 - \sqrt{2} i

.
• Mà

{\begin{aligned} z_{1} + z_{3} = - 2 \\ z_{1} . z_{3} = 2 \end{aligned}

và

{\begin{aligned} z_{2} + z_{4} = 2 \\ z_{2} . z_{4} = 3 \end{aligned}

.
• Do đó

x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d = (x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} - 2 x + 3)

\Leftrightarrow x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d = x^{4} + x^{2} + 2 x + 6

.
Suy ra

a = 0

,

b = 1

,

c = 2

,

x = 0

hay

a + b + c + d = 9

.

Đáp án B.

Biết phương trình x4+ax3+bx2+cx+d=0...