Biết phương trình ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$...

• Xét phương trình ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$ $\left( 1 \right)$, $\left( a,b,c,d\in \mathbb{R} \right)$.
• Nhận thấy: Nếu z là nghiệm của $\left( 1 \right)$ thì z cũng là nghiệm của $\left( 1 \right)$.
• Do đó, $\left( 1 \right)$ có bốn nghiệm ${{z}_{1}}=-1+i$, ${{z}_{2}}=1+\sqrt{2}i$, ${{z}_{3}}=\overline{{{z}_{1}}}=-1-i$, ${{z}_{4}}=\overline{{{z}_{2}}}=1-\sqrt{2}i$.
• Mà $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{3}}=-2 \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{3}}=2 \\
\end{aligned} \right. $ và $ \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{2}}+{{z}_{4}}=2 \\
& {{z}_{2}}.{{z}_{4}}=3 \\
\end{aligned} \right.$.
• Do đó ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+2x+6$.
Suy ra $a=0$, $b=1$, $c=2$, $x=0$ hay $a+b+c+d=9$.