Biết phương trình $\log _{2}^{2}(x-2)-(2m+1){{\log...

The Knowledge · 13/3/22

Câu hỏi: Biết phương trình

\log_{2}^{2} (x - 2) - (2 m + 1) \log_{2} (x - 2) + m + 4 = 0

có hai nghiệm

x_{1}, x_{2}

thoả mãn

x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) = 28

. Số nghiệm nguyên thuộc khoảng

(- 8; 8)

của bất phương trình

e^{\sqrt{x + m + 2}} < e^{x - m} + x - \sqrt{x + m + 2} + 5 m - 12

là
A.

4

.
B.

5

.
C.

2

.
D.

15

.

Từ giả thiết

x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) = 28 \Leftrightarrow (x_{1} - 2) (x_{2} - 2) = 32 \Leftrightarrow \log_{2} (x_{1} - 2) + \log_{2} (x_{2} - 2) = 5

.

\Leftrightarrow 2 m + 1 = 5 \Leftrightarrow m = 2

. Thử lại

m = 2

thỏa yêu cầu.
Thay

m = 2

vào ta được

e^{\sqrt{x + 4}} < e^{x - 2} + x - \sqrt{x + 4} - 2 \Leftrightarrow e^{\sqrt{x + 4}} + \sqrt{x + 4} < e^{x - 2} + (x - 2)

.
Xét hàm số

f (t) = e^{t} + t

, hàm số đồng biến trên

R

.
Suy ra

e^{\sqrt{x + 4}} + \sqrt{x + 4} < e^{x - 2} + (x - 2)

\Leftrightarrow \sqrt{x + 4} < x - 2 \Leftrightarrow {\begin{aligned} x - 2 > 0 \\ x + 4 \geq 0 \\ x + 4 < x^{2} - 4 x + 4 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x \geq 2 \\ x^{2} - 5 x > 0 \end{aligned} \Leftrightarrow x > 5

.
Kết hợp với điều kiện

x \in Z; x \in (- 8; 8) \Rightarrow x \in {6; 7}

.

Đáp án C.