Google
Câu hỏi: Biết phương trình $\log _{2}^{2}(x-2)-(2m+1){{\log }_{2}}(x-2)+m+4=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thoả mãn ${{x}_{1}}{{x}_{2}}-2({{x}_{1}}+{{x}_{2}})=28$. Số nghiệm nguyên thuộc khoảng $(-8;8)$ của bất phương trình ${{e}^{\sqrt{x+m+2}}}<{{e}^{x-m}}+x-\sqrt{x+m+2}+5m-12$ là
A. $4$.
B. $5$.
C. $2$.
D. $15$.
A. $4$.
B. $5$.
C. $2$.
D. $15$.
Từ giả thiết ${{x}_{1}}{{x}_{2}}-2({{x}_{1}}+{{x}_{2}})=28\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)=32\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}_{1}}-2 \right)+{{\log }_{2}}\left( {{x}_{2}}-2 \right)=5$.
$\Leftrightarrow 2m+1=5\Leftrightarrow m=2$. Thử lại $m=2$ thỏa yêu cầu.
Thay $m=2$ vào ta được ${{e}^{\sqrt{x+4}}}<{{e}^{x-2}}+x-\sqrt{x+4}-2\Leftrightarrow {{e}^{\sqrt{x+4}}}+\sqrt{x+4}<{{e}^{x-2}}+\left( x-2 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra ${{e}^{\sqrt{x+4}}}+\sqrt{x+4}<{{e}^{x-2}}+\left( x-2 \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+4}<x-2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-2>0 \\
& x+4\ge 0 \\
& x+4<{{x}^{2}}-4x+4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 2 \\
& {{x}^{2}}-5x>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>5$.
Kết hợp với điều kiện $x\in \mathbb{Z};x\in (-8;8)\Rightarrow x\in \left\{ 6;7 \right\}$.
$\Leftrightarrow 2m+1=5\Leftrightarrow m=2$. Thử lại $m=2$ thỏa yêu cầu.
Thay $m=2$ vào ta được ${{e}^{\sqrt{x+4}}}<{{e}^{x-2}}+x-\sqrt{x+4}-2\Leftrightarrow {{e}^{\sqrt{x+4}}}+\sqrt{x+4}<{{e}^{x-2}}+\left( x-2 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra ${{e}^{\sqrt{x+4}}}+\sqrt{x+4}<{{e}^{x-2}}+\left( x-2 \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+4}<x-2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-2>0 \\
& x+4\ge 0 \\
& x+4<{{x}^{2}}-4x+4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 2 \\
& {{x}^{2}}-5x>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>5$.
Kết hợp với điều kiện $x\in \mathbb{Z};x\in (-8;8)\Rightarrow x\in \left\{ 6;7 \right\}$.
Đáp án C.