Biết m là một số thực để bất phương trình...

Xét hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{4}^{mx}}+{{5}^{x}}-2mx-3$ trên $\mathbb{R}$.
Điều kiện cần:
Do $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \\
& f\left( 0 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=0 $. Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $ x=0$.
Ta có: $f'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3+{{4}^{mx}}.m\ln 4+{{5}^{x}}\ln 5-2m,\forall x\in \mathbb{R}$.
Vì hàm số đạt cực tiểu tại $x=0\Rightarrow f'\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{\ln 15}{2-\ln 4}\approx 4,4126$.
Điều kiện đủ:
Với $m=\dfrac{\ln 15}{2-\ln 4}$, ta có: $f'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3+{{4}^{mx}}.m\ln 4+{{5}^{x}}\ln 5-2m\Rightarrow f'\left( 0 \right)=0$.
Do $f''\left( x \right)={{3}^{x}}{{\ln }^{2}}3+{{4}^{mx}}.{{\left( m\ln 4 \right)}^{2}}+{{5}^{x}}{{\ln }^{2}}5>0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Suy ra $f'\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ hay $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)\ge f'\left( 0 \right),\forall x\ge 0 \\
& f'\left( x \right)<f'\left( 0 \right),\forall x<0 \\
& f'\left( x \right)=f'\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow x=0 \\
\end{aligned} \right..$
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có: ${{3}^{x}}+{{4}^{mx}}+{{5}^{x}}-2mx-3\ge 0$ thỏa mãn với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi $m=\dfrac{\ln 15}{2-\ln 4}$.