Google
Câu hỏi: Biết $\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{\left( x+1 \right)\ln x+2}{1+x\ln x}dx}=a.e+b\ln \left( \dfrac{e+1}{e} \right)$ trong đó $a,b$ là các số nguyên. Khi đó tỉ số $\dfrac{a}{b}$ là
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
$\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{\left( x+1 \right)\ln x+2}{1+x\ln x}}dx=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{1+x\ln x+1+\ln x}{1+x\ln x}}dx=\int\limits_{1}^{e}{dx}+\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{d\left( 1+x\ln x \right)}{1+x\ln x}}$
$=\left. x \right|_{1}^{e}+\left. \ln \left( 1+x\ln x \right) \right|_{1}^{e}=e-1+\ln \left( 1+e \right)=e+\ln \dfrac{e+1}{e}$. Suy ra $a=b=1$. Vậy $\dfrac{a}{b}=1$.
$=\left. x \right|_{1}^{e}+\left. \ln \left( 1+x\ln x \right) \right|_{1}^{e}=e-1+\ln \left( 1+e \right)=e+\ln \dfrac{e+1}{e}$. Suy ra $a=b=1$. Vậy $\dfrac{a}{b}=1$.
Đáp án B.