Google
Câu hỏi: Biết $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ và $\int_{0}^{4}{f\left( x \right)}=F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+2m\left( m>0 \right)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F\left( x \right),y=G\left( x \right),x=0$ và $x=4$. Khi $S=8$ thì $m$ bằng:
A. $4$
B. $1$
C. $3$
D. $2$
A. $4$
B. $1$
C. $3$
D. $2$
Vì $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nên giả sử trên $\mathbb{R}$, ta có: $G\left( x \right)=F\left( x \right)+C$ suy ra $G\left( 0 \right)=F\left( 0 \right)+C$
$\int_{0}^{4}{f\left( x \right)}\text{d}x=F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+2m\Leftrightarrow F\left( 4 \right)-F\left( 0 \right)=F\left( 4 \right)-F\left( 0 \right)-C+2m\Leftrightarrow C=2m$
Vậy $G\left( x \right)=F\left( x \right)+2m$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có $S=\int_{0}^{4}{\left| F\left( x \right)-G\left( x \right) \right|}\text{d}x=\int_{0}^{4}{2m\text{d}x=\left. 2mx \right|_{0}^{4}}=8m$,
Mà $S=8$ nên $m=1$.
$\int_{0}^{4}{f\left( x \right)}\text{d}x=F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+2m\Leftrightarrow F\left( 4 \right)-F\left( 0 \right)=F\left( 4 \right)-F\left( 0 \right)-C+2m\Leftrightarrow C=2m$
Vậy $G\left( x \right)=F\left( x \right)+2m$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có $S=\int_{0}^{4}{\left| F\left( x \right)-G\left( x \right) \right|}\text{d}x=\int_{0}^{4}{2m\text{d}x=\left. 2mx \right|_{0}^{4}}=8m$,
Mà $S=8$ nên $m=1$.
Đáp án B.