Google
Câu hỏi: Biết $F\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+2x-\dfrac{1}{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}+a \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right)=\cos ax$.
A. $-\sin x+C$.
B. $-\dfrac{1}{2}\sin 2x+C$.
C. $\dfrac{1}{2}\sin 2x+C$.
D. $\sin x+C$.
A. $-\sin x+C$.
B. $-\dfrac{1}{2}\sin 2x+C$.
C. $\dfrac{1}{2}\sin 2x+C$.
D. $\sin x+C$.
Ta có $f\left( x \right)={{x}^{2}}+2a+\dfrac{{{a}^{2}}}{{{x}^{2}}}\Rightarrow \int{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+2ax-\dfrac{{{a}^{2}}}{x}$
Lại có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+2x-\dfrac{1}{x}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2=2a \\
& -1=-{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a=1$
Vậy $g\left( x \right)=\cos x\xrightarrow[{}]{{}}\int{g\left( x \right)dx}=\int{\cos xdx}=\sin x+C$.
Lại có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+2x-\dfrac{1}{x}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2=2a \\
& -1=-{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a=1$
Vậy $g\left( x \right)=\cos x\xrightarrow[{}]{{}}\int{g\left( x \right)dx}=\int{\cos xdx}=\sin x+C$.
Đáp án D.