Google
Câu hỏi: Biết $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}$ sao cho đoạn thẳng $AB$ có độ dài nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức $P=x_{A}^{2}+x_{B}^{2}+{{y}_{A}}{{y}_{B}}$ là
A. $P=5+\sqrt{2}$.
B. $P=6+\sqrt{2}$.
C. $P=6$.
D. $P=5$.
A. $P=5+\sqrt{2}$.
B. $P=6+\sqrt{2}$.
C. $P=6$.
D. $P=5$.
Đồ thị $\left( C \right)$ của $y=\dfrac{x+1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Gọi $I\left( 1;1 \right)$ là giao điểm của hai đường tiệm cận $\Rightarrow I$ là tâm đối xứng của $\left( C \right)$.
Nhận xét $AB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $IA$ nhỏ nhất. Giả sử $A$ thuộc nhánh phải của đồ thị $\Rightarrow A\left( a;\dfrac{a+1}{a-1} \right),a>1$. Ta có :
$IA=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a+1}{a-1}-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+\dfrac{4}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}}\ge \sqrt{2\sqrt{4}}=2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ${{\left( a-1 \right)}^{2}}=\dfrac{4}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow a-1=\sqrt{2}\Leftrightarrow a=1+\sqrt{2}$ (Do $a>1$ ).
Suy ra : $A\left( 1+\sqrt{2};1+\sqrt{2} \right)$ mà $I\left( 1;1 \right)$ là trung điểm $AB$ nên $B\left( 1-\sqrt{2};1-\sqrt{2} \right)$.
Vậy $P=x_{A}^{2}+x_{B}^{2}+{{y}_{A}}.{{y}_{B}}=5$.
Nhận xét $AB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $IA$ nhỏ nhất. Giả sử $A$ thuộc nhánh phải của đồ thị $\Rightarrow A\left( a;\dfrac{a+1}{a-1} \right),a>1$. Ta có :
$IA=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a+1}{a-1}-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+\dfrac{4}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}}\ge \sqrt{2\sqrt{4}}=2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ${{\left( a-1 \right)}^{2}}=\dfrac{4}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow a-1=\sqrt{2}\Leftrightarrow a=1+\sqrt{2}$ (Do $a>1$ ).
Suy ra : $A\left( 1+\sqrt{2};1+\sqrt{2} \right)$ mà $I\left( 1;1 \right)$ là trung điểm $AB$ nên $B\left( 1-\sqrt{2};1-\sqrt{2} \right)$.
Vậy $P=x_{A}^{2}+x_{B}^{2}+{{y}_{A}}.{{y}_{B}}=5$.
Đáp án D.