Google
Câu hỏi: Biết ${{a}_{3n-3}}$ là hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ trong khai triển đa thức của ${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}.$ Tìm số nguyên dương n thỏa mãn ${{a}_{3n-3}}=72n.$
A. n = 5.
B. n = 6.
C. n = 7.
D. n =8.
A. n = 5.
B. n = 6.
C. n = 7.
D. n =8.
Theo khai triển nhị thức Newton, ta có: ${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{x}^{2\left( n-k \right)}}.\sum\limits_{i=0}^{i}{C_{n}^{i}{{x}^{n-i}}{{.2}^{i}}}}$
Phân tích $3n-3=2\left( n-1 \right)+\left( n-1 \right)$ nên hệ số tương ứng của ${{x}^{3n-3}}$ là ${{a}_{3n-3}}=C_{n}^{0}.C_{n}^{3}{{.2}^{3}}+C_{n}^{1}.C_{n}^{1}.2=72n$
$\Leftrightarrow 2n\left( 2{{n}^{2}}-3n+4 \right)=3.72n\Leftrightarrow 2{{n}^{2}}-3n-104=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=-\dfrac{13}{2} \\
& n=8 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy n = 8
Phân tích $3n-3=2\left( n-1 \right)+\left( n-1 \right)$ nên hệ số tương ứng của ${{x}^{3n-3}}$ là ${{a}_{3n-3}}=C_{n}^{0}.C_{n}^{3}{{.2}^{3}}+C_{n}^{1}.C_{n}^{1}.2=72n$
$\Leftrightarrow 2n\left( 2{{n}^{2}}-3n+4 \right)=3.72n\Leftrightarrow 2{{n}^{2}}-3n-104=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=-\dfrac{13}{2} \\
& n=8 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy n = 8
Đáp án D.