Bất phương trình $m{{.2}^{x+1}}+\left( 2m+1 \right){{\left(...

Ta có
$m{{.2}^{x+1}}+\left( 2m+1 \right){{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{x}}+{{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{x}}<0\Leftrightarrow 2m+\left( 2m+1 \right){{\left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}<0$
Đặt $t={{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}$ thì ${{\left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}=\dfrac{1}{t}$ và do $x\le 0$ nên $0<t\le 1.$
Do đó, $YCBT\Leftrightarrow 2m+\left( 2m+1 \right)\dfrac{1}{t}+t<0$ có tập nghiệm là $\left( 0;1 \right]$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2mt+2m+1<0,\forall t\in \left( 0;1 \right]$
$\Leftrightarrow -m>\dfrac{{{t}^{2}}+1}{t+1},\forall t\in \left( 0;1 \right]$ (*)
Xét hàm số $g\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+1}{t+1}$ với $t\in \left( 0;1 \right]$. Có ${g}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}.$
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow -2m\ge 1\Leftrightarrow m\le -\dfrac{1}{2}.$