Bất phương trình ${{\log }_{4}}\left( x+2 \right)+x+3<{{\log...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Bất phương trình

\log_{4} (x + 2) + x + 3 < \log_{2} (\frac{2 x + 1}{x}) + {(1 + \frac{1}{x})}^{2} + 2 \sqrt{x + 2}

có tập nghiệm là S. Tập nào sau đây là tập con của S?
A.

(0; \frac{7}{2}) .

B.

(1 - 2 \sqrt{2}; 1 - \sqrt{5}) .

C.

(1 - 2 \sqrt{2}; 0) .

D.

(1; 2) .

Điều kiện:

{\begin{aligned} x + 2 > 0 \\ \frac{2 x + 1}{x} > 0 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} - 2 < x < - \frac{1}{2} \\ x > 0 \end{aligned} (*)

Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:

\log_{2} \sqrt{x + 2} + x + 2 - 2 \sqrt{x + 2} < \log_{2} (2 + \frac{1}{x}) + {(2 + \frac{1}{x})}^{2} - 2 (2 + \frac{1}{x}) (1)

+) Xét hàm số

f (t) = \log_{2} t + t^{2} - 2 t

trên

(0; + \infty)

Ta có

f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 2} + 2 t - 2 > \frac{1}{t} + 2 t - 2 = t + \frac{{(t - 1)}^{2}}{t} > 0, \forall t > 0.

Do đó f(t) đồng biến trên

(0; + \infty) .

Suy ra

(1) \Leftrightarrow f (\sqrt{x + 2}) < f (2 + \frac{1}{x}) \Leftrightarrow \sqrt{x + 2} < 2 + \frac{1}{x} (2)

+) Vì (*) nên (2)

\Leftrightarrow x + 2 < {(2 + \frac{1}{x})}^{2} \Leftrightarrow x + 2 < 4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}

\Leftrightarrow x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 1 < 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - 1) \cup (\frac{3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{3 + \sqrt{13}}{2})

Kết hợp điều kiện (*) ta được

S = (- 2; - 1) \cup (0; \frac{3 + \sqrt{13}}{2}) .

Đáp án B.