Google
Câu hỏi: Bất phương trình ${{\log }_{4}}\left( x+2 \right)+x+3<{{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x} \right)+{{\left( 1+\dfrac{1}{x} \right)}^{2}}+2\sqrt{x+2}$ có tập nghiệm là S. Tập nào sau đây là tập con của S?
A. $\left( 0;\dfrac{7}{2} \right).$
B. $\left( 1-2\sqrt{2};1-\sqrt{5} \right).$
C. $\left( 1-2\sqrt{2};0 \right).$
D. $\left( 1;2 \right).$
A. $\left( 0;\dfrac{7}{2} \right).$
B. $\left( 1-2\sqrt{2};1-\sqrt{5} \right).$
C. $\left( 1-2\sqrt{2};0 \right).$
D. $\left( 1;2 \right).$
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x+2>0 \\
& \dfrac{2x+1}{x}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -2<x<-\dfrac{1}{2} \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right. \left( * \right)$
Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:
${{\log }_{2}}\sqrt{x+2}+x+2-2\sqrt{x+2}<{{\log }_{2}}\left( 2+\dfrac{1}{x} \right)+{{\left( 2+\dfrac{1}{x} \right)}^{2}}-2\left( 2+\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 \right)$
+) Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+{{t}^{2}}-2t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+2t-2>\dfrac{1}{t}+2t-2=t+\dfrac{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}{t}>0, \forall t>0.$
Do đó f(t) đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Suy ra $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( \sqrt{x+2} \right)<f\left( 2+\dfrac{1}{x} \right)\Leftrightarrow \sqrt{x+2}<2+\dfrac{1}{x} \left( 2 \right)$
+) Vì (*) nên (2) $\Leftrightarrow x+2<{{\left( 2+\dfrac{1}{x} \right)}^{2}}\Leftrightarrow x+2<4+\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-4x-1<0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( \dfrac{3-\sqrt{13}}{2};\dfrac{3+\sqrt{13}}{2} \right)$
Kết hợp điều kiện (*) ta được $S=\left( -2;-1 \right)\cup \left( 0;\dfrac{3+\sqrt{13}}{2} \right).$
& x+2>0 \\
& \dfrac{2x+1}{x}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -2<x<-\dfrac{1}{2} \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right. \left( * \right)$
Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:
${{\log }_{2}}\sqrt{x+2}+x+2-2\sqrt{x+2}<{{\log }_{2}}\left( 2+\dfrac{1}{x} \right)+{{\left( 2+\dfrac{1}{x} \right)}^{2}}-2\left( 2+\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 \right)$
+) Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+{{t}^{2}}-2t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+2t-2>\dfrac{1}{t}+2t-2=t+\dfrac{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}{t}>0, \forall t>0.$
Do đó f(t) đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Suy ra $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( \sqrt{x+2} \right)<f\left( 2+\dfrac{1}{x} \right)\Leftrightarrow \sqrt{x+2}<2+\dfrac{1}{x} \left( 2 \right)$
+) Vì (*) nên (2) $\Leftrightarrow x+2<{{\left( 2+\dfrac{1}{x} \right)}^{2}}\Leftrightarrow x+2<4+\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-4x-1<0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( \dfrac{3-\sqrt{13}}{2};\dfrac{3+\sqrt{13}}{2} \right)$
Kết hợp điều kiện (*) ta được $S=\left( -2;-1 \right)\cup \left( 0;\dfrac{3+\sqrt{13}}{2} \right).$
Đáp án B.