Bất phương trình ${{\left( 1+\sqrt{2} \right)}^{x}}+\left( 1-2a...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Bất phương trình

{(1 + \sqrt{2})}^{x} + (1 - 2 a) {(\sqrt{2} - 1)}^{x} - 4 = 0

có 2 nghiệm phân biệt

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn

x_{1} - x_{2} = \log_{1 + \sqrt{2}} 3

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.

a \in (- \infty; - \frac{3}{2})

B.

a \in (- \frac{3}{2}; 0)

C.

a \in (0; \frac{3}{2})

D.

a \in (\frac{3}{2}; + \infty)

Đặt

t = {(1 + \sqrt{2})}^{x} (t > 0) \Rightarrow {(1 + \sqrt{2})}^{x} = \frac{1}{t}

Phương trình đã cho trở thành:

t + \frac{1 - 2 a}{t} - 4 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 4 t + 1 - 2 a = 0 (1)

Ta cần tìm a để (1) có hai nghiệm dương

t_{1}; t_{2}

khi đó:

x_{1} - x_{2} = \log_{1 + \sqrt{2}} t_{1} - \log_{1 + \sqrt{2}} t_{2}

= \log_{1 + \sqrt{2}} \frac{t_{1}}{t_{2}} = \log_{1 + \sqrt{2}} 3 \Leftrightarrow \frac{t_{1}}{t_{2}} = 3 \Leftrightarrow t_{1} = 3 t_{2}

Kết hợp Vi-ét ta có:

{\begin{aligned} t_{1} + t_{2} = 4 \\ t_{1} t_{2} = 1 - 2 a \\ t_{1} = 3 t_{2} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} t_{1} = 3 \\ t_{2} = 1 \\ 1 - 2 a = 3 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} t_{1} = 3 \\ t_{2} = 1 \\ a = - 1 \end{aligned}

Đáp án B.