Google
Câu hỏi: Bất phương trình ${{\left( 1+\sqrt{2} \right)}^{x}}+\left( 1-2a \right){{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}-{{x}_{2}}={{\log }_{1+\sqrt{2}}}3$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $a\in \left( -\infty ;-\dfrac{3}{2} \right)$
B. $a\in \left( -\dfrac{3}{2};0 \right)$
C. $a\in \left( 0;\dfrac{3}{2} \right)$
D. $a\in \left( \dfrac{3}{2};+\infty \right)$
A. $a\in \left( -\infty ;-\dfrac{3}{2} \right)$
B. $a\in \left( -\dfrac{3}{2};0 \right)$
C. $a\in \left( 0;\dfrac{3}{2} \right)$
D. $a\in \left( \dfrac{3}{2};+\infty \right)$
Đặt $t={{\left( 1+\sqrt{2} \right)}^{x}}\left( t>0 \right)\Rightarrow {{\left( 1+\sqrt{2} \right)}^{x}}=\dfrac{1}{t}$
Phương trình đã cho trở thành: $t+\dfrac{1-2a}{t}-4=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t+1-2a=0 (1)$
Ta cần tìm a để (1) có hai nghiệm dương ${{t}_{1}};{{t}_{2}}$ khi đó: ${{x}_{1}}-{{x}_{2}}={{\log }_{1+\sqrt{2}}}{{t}_{1}}-{{\log }_{1+\sqrt{2}}}{{t}_{2}}$
$={{\log }_{1+\sqrt{2}}}\dfrac{{{t}_{1}}}{{{t}_{2}}}={{\log }_{1+\sqrt{2}}}3\Leftrightarrow \dfrac{{{t}_{1}}}{{{t}_{2}}}=3\Leftrightarrow {{t}_{1}}=3{{t}_{2}}$
Kết hợp Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=4 \\
& {{t}_{1}}{{t}_{2}}=1-2a \\
& {{t}_{1}}=3{{t}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=3 \\
& {{t}_{2}}=1 \\
& 1-2a=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=3 \\
& {{t}_{2}}=1 \\
& a=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình đã cho trở thành: $t+\dfrac{1-2a}{t}-4=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t+1-2a=0 (1)$
Ta cần tìm a để (1) có hai nghiệm dương ${{t}_{1}};{{t}_{2}}$ khi đó: ${{x}_{1}}-{{x}_{2}}={{\log }_{1+\sqrt{2}}}{{t}_{1}}-{{\log }_{1+\sqrt{2}}}{{t}_{2}}$
$={{\log }_{1+\sqrt{2}}}\dfrac{{{t}_{1}}}{{{t}_{2}}}={{\log }_{1+\sqrt{2}}}3\Leftrightarrow \dfrac{{{t}_{1}}}{{{t}_{2}}}=3\Leftrightarrow {{t}_{1}}=3{{t}_{2}}$
Kết hợp Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=4 \\
& {{t}_{1}}{{t}_{2}}=1-2a \\
& {{t}_{1}}=3{{t}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=3 \\
& {{t}_{2}}=1 \\
& 1-2a=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=3 \\
& {{t}_{2}}=1 \\
& a=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Đáp án B.