Google
Câu hỏi: Bất phương trình ${{4}^{x}}-\left( m+1 \right){{2}^{x+1}}+m\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\ge 0$. Tập tất cả cá giá trị của $m$ là
A. $\left( -1;16 \right]$.
B. $\left( -\infty ;12 \right)$.
C. $\left( -\infty ;-1 \right]$.
D. $\left( -\infty ;0 \right]$.
A. $\left( -1;16 \right]$.
B. $\left( -\infty ;12 \right)$.
C. $\left( -\infty ;-1 \right]$.
D. $\left( -\infty ;0 \right]$.
Bất phương trình ${{4}^{x}}-\left( m+1 \right){{2}^{x+1}}+m\ge 0 \left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow {{4}^{x}}-2\left( m+1 \right){{2}^{x}}+m\ge 0 $.
Đặt ${{2}^{x}}=t$ bất phương trình trở thành ${{t}^{2}}-2\left( m+1 \right)t+m\ge 0 \left( 2 \right)$.
Bất phương trình $\left( 1 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\ge 0$ khi và chỉ khi bất phương trình $\left( 2 \right)$ nghiệm đúng với mọi $t\ge 1$.
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left( 2t-1 \right)m\le {{t}^{2}}-2t\Leftrightarrow m\le \dfrac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1}$ (do $t\ge 1$ ).
Đặt $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1}$ với $t\ge 1$.
$\Rightarrow f'\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}-2t+2}{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}>0 \forall t\ge 1$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có $f\left( t \right)\ge m \forall t\in \left[ 1;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow m\le -1$. Vậy chọn B
Đặt ${{2}^{x}}=t$ bất phương trình trở thành ${{t}^{2}}-2\left( m+1 \right)t+m\ge 0 \left( 2 \right)$.
Bất phương trình $\left( 1 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\ge 0$ khi và chỉ khi bất phương trình $\left( 2 \right)$ nghiệm đúng với mọi $t\ge 1$.
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left( 2t-1 \right)m\le {{t}^{2}}-2t\Leftrightarrow m\le \dfrac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1}$ (do $t\ge 1$ ).
Đặt $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1}$ với $t\ge 1$.
$\Rightarrow f'\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}-2t+2}{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}>0 \forall t\ge 1$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có $f\left( t \right)\ge m \forall t\in \left[ 1;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow m\le -1$. Vậy chọn B
Đáp án C.