Bất phương trình ${{2.5}^{x+2}}+{{5.2}^{x+2}}\le...

Ta có: ${{2.5}^{x+2}}+{{5.2}^{x+2}}\le 133.\sqrt{{{10}^{x}}}\Leftrightarrow {{50.5}^{x}}+{{20.2}^{x}}\le 133\sqrt{{{10}^{x}}}$ chia hai vế bất phương trình cho ${{5}^{x}}$ khác 0 ta được:
$50+\dfrac{{{20.2}^{x}}}{{{5}^{x}}}\le \dfrac{133\sqrt{{{10}^{x}}}}{{{5}^{x}}}\Leftrightarrow 50+20.{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{x}}\le 133.{{\left( \sqrt{\dfrac{2}{5}} \right)}^{x}}$ (1)
Đặt $t={{\left( \sqrt{\dfrac{2}{5}} \right)}^{x}}(t\ge 0)$ phương trình (1) trở thành: $20{{t}^{2}}-133t+50\le 0\Leftrightarrow \dfrac{2}{5}\le t\le \dfrac{25}{4}$.
Khi đó ta có: $\dfrac{2}{5}\le {{\left( \sqrt{\dfrac{2}{5}} \right)}^{x}}\le \dfrac{25}{4}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{2}}\le {{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{x}}\le {{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{-4}}\Leftrightarrow -4\le x\le 2$.
Nên $a=-4,b=2$.
Vậy $b-2\text{a}=10$.
* Phương pháp chung
Nhận thấy bất phương trình chứa ${{5}^{x}}{{,2}^{x}}{{,10}^{x}}={{5}^{x}}{{.2}^{x}}$ dạng đẳng cấp nên ta nghĩ đến chia cho một lượng để có thể đặt ẩn phụ.
Bất phương trình mũ: ${{a}^{m}}<{{a}^{n}}\Leftrightarrow m>n$ nếu $0<a<1$.