Câu hỏi: Cho elip \(\displaystyle (E)\) có phương trình: \(\displaystyle {{{x^2}} \over {100}} + {{{y^2}} \over {36}} = 1\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(a^2= 100 ⇒ a = 10\)
\(b^2= 36 ⇒ b = 6\)
\(c^2= a^2– b^2= 64 ⇒ c = 8\)
Từ đó ta được:
+) Tọa độ các đỉnh: \(A_1(-10; 0), A_2(10; 0), B_1(0; -3), \) \(B_2(0; 3)\)
+) Tọa độ các tiêu điểm: \(F_1(-8; 0), F_2(8; 0)\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(F_2(8; 0)\) và song song \(Oy\).
Khi đó \(d:x=8\)
\(\begin{array}{l}
M = d \cap \left(E \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{36}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
\dfrac{{64}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{36}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
\dfrac{{{y^2}}}{{36}} = \dfrac{9}{{25}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
{y^2} = \dfrac{{324}}{{25}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
y = \pm \dfrac{{18}}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Do đó có hai giao điểm của \(d\) với \((E)\) là \(M\left( {8;\dfrac{{18}}{5}} \right), N\left({8; - \dfrac{{18}}{5}} \right)\)
\(MN = \sqrt {{{\left( {8 - 8} \right)}^2} + {{\left({ - \dfrac{{18}}{5} - \dfrac{{18}}{5}} \right)}^2}} \) \(= \dfrac{{36}}{5}\)
Cách khác:
Ta có: \(M \in \left( E \right)\) \(\Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 20 \left( 1 \right)\)
\(MN//Oy \Rightarrow MN \bot {F_1}{F_2}\) \(\Rightarrow \Delta M{F_2}{F_2}\) vuông tại \({F_2}\)
Theo định lý Pitago ta có:
\(\begin{array}{l}MF_1^2 - MF_2^2 = {F_1}F_2^2 = {\left( {2c} \right)^2} = {16^2}\\ \Rightarrow \left({M{F_1} - M{F_2}} \right)\left({M{F_1} + M{F_2}} \right) = {16^2}\end{array}\)
Mà \(M{F_1} + M{F_2} = 20\) nên
\(\begin{array}{l}\left( {M{F_1} - M{F_2}} \right). 20 = {16^2}\\ \Leftrightarrow M{F_1} - M{F_2} = \dfrac{{{{16}^2}}}{{20}} = \dfrac{{64}}{5} \left(2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 20\\M{F_1} - M{F_2} = \dfrac{{64}}{5}\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = \dfrac{{82}}{5}\\M{F_2} = \dfrac{{18}}{5}\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow MN = 2M{F_2} = 2.\dfrac{{18}}{5} = \dfrac{{36}}{5}\)
Câu a
Hãy xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm của elip \((E)\) và vẽ elip đóLời giải chi tiết:
Ta có: \(a^2= 100 ⇒ a = 10\)
\(b^2= 36 ⇒ b = 6\)
\(c^2= a^2– b^2= 64 ⇒ c = 8\)
Từ đó ta được:
+) Tọa độ các đỉnh: \(A_1(-10; 0), A_2(10; 0), B_1(0; -3), \) \(B_2(0; 3)\)
+) Tọa độ các tiêu điểm: \(F_1(-8; 0), F_2(8; 0)\)
Câu b
Qua tiêu điểm của elip dựng đường thẳng song song với \(Oy\) và cắt elip tại hai điểm \(M\) và \(N\). Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\).Lời giải chi tiết:
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(F_2(8; 0)\) và song song \(Oy\).
Khi đó \(d:x=8\)
\(\begin{array}{l}
M = d \cap \left(E \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{36}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
\dfrac{{64}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{36}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
\dfrac{{{y^2}}}{{36}} = \dfrac{9}{{25}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
{y^2} = \dfrac{{324}}{{25}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
y = \pm \dfrac{{18}}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Do đó có hai giao điểm của \(d\) với \((E)\) là \(M\left( {8;\dfrac{{18}}{5}} \right), N\left({8; - \dfrac{{18}}{5}} \right)\)
\(MN = \sqrt {{{\left( {8 - 8} \right)}^2} + {{\left({ - \dfrac{{18}}{5} - \dfrac{{18}}{5}} \right)}^2}} \) \(= \dfrac{{36}}{5}\)
Cách khác:
Ta có: \(M \in \left( E \right)\) \(\Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 20 \left( 1 \right)\)
\(MN//Oy \Rightarrow MN \bot {F_1}{F_2}\) \(\Rightarrow \Delta M{F_2}{F_2}\) vuông tại \({F_2}\)
Theo định lý Pitago ta có:
\(\begin{array}{l}MF_1^2 - MF_2^2 = {F_1}F_2^2 = {\left( {2c} \right)^2} = {16^2}\\ \Rightarrow \left({M{F_1} - M{F_2}} \right)\left({M{F_1} + M{F_2}} \right) = {16^2}\end{array}\)
Mà \(M{F_1} + M{F_2} = 20\) nên
\(\begin{array}{l}\left( {M{F_1} - M{F_2}} \right). 20 = {16^2}\\ \Leftrightarrow M{F_1} - M{F_2} = \dfrac{{{{16}^2}}}{{20}} = \dfrac{{64}}{5} \left(2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 20\\M{F_1} - M{F_2} = \dfrac{{64}}{5}\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = \dfrac{{82}}{5}\\M{F_2} = \dfrac{{18}}{5}\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow MN = 2M{F_2} = 2.\dfrac{{18}}{5} = \dfrac{{36}}{5}\)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!
Lần chỉnh sửa cuối bởi 1 quản trị viên: