Google
Câu hỏi: Cho hai vecto \(a\) và \(b\) sao cho \(|\overrightarrow a | = 3;|\overrightarrow b | = 5;(\overrightarrow a ,\overrightarrow b) = {120^0}\) . Với giá trị nào của m thì hai vecto \(\overrightarrow a + m\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a - m\overrightarrow b \) vuông góc với nhau?
Phương pháp giải
Điều kiện để hai véc tơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) vuông góc là \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0\).
Lời giải chi tiết
Để hai véc tơ \(\overrightarrow a + m\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a - m\overrightarrow b \) vuông góc với nhau thì:
\(\begin{array}{l}\left( {\overrightarrow a + m\overrightarrow b } \right)\left({\overrightarrow a - m\overrightarrow b } \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\overrightarrow a ^2} + m\overrightarrow b .\overrightarrow a - m\overrightarrow a .\overrightarrow b - {m^2}{\overrightarrow b ^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {m^2}{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 0\left({do m\overrightarrow b .\overrightarrow a = m\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\\ \Leftrightarrow {3^2} - {m^2}{. 5^2} = 0\\ \Leftrightarrow 9 - 25{m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} = \frac{9}{{25}}\\ \Leftrightarrow m = \pm \frac{3}{5}\end{array}\)
Điều kiện để hai véc tơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) vuông góc là \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0\).
Lời giải chi tiết
Để hai véc tơ \(\overrightarrow a + m\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a - m\overrightarrow b \) vuông góc với nhau thì:
\(\begin{array}{l}\left( {\overrightarrow a + m\overrightarrow b } \right)\left({\overrightarrow a - m\overrightarrow b } \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\overrightarrow a ^2} + m\overrightarrow b .\overrightarrow a - m\overrightarrow a .\overrightarrow b - {m^2}{\overrightarrow b ^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {m^2}{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 0\left({do m\overrightarrow b .\overrightarrow a = m\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\\ \Leftrightarrow {3^2} - {m^2}{. 5^2} = 0\\ \Leftrightarrow 9 - 25{m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} = \frac{9}{{25}}\\ \Leftrightarrow m = \pm \frac{3}{5}\end{array}\)