Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) với \(H\) là trực tâm. Biết phương trình của đường thẳng \(AB, BH\) và \(AH\) lần lượt là: \(4x + y – 12 = 0,5x – 4y – 15 = 0\) và \(2x + 2y – 9 = 0\)
Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba.
Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba.
Lời giải chi tiết
\(A = AH \cap AB\) nên tọa độ đỉnh \(A\) là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{
4x + y - 12 = 0 \hfill \cr
2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{5}{2}\\
y = 2
\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow A({5 \over 2}, 2)\)
\(BH : 5x – 4y – 15 = 0\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BH}}} = \left( {5; - 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{BH}}} = \left({4; 5} \right)\)
\(AC \bot BH \Rightarrow AC\) nhận \(\overrightarrow {{u_{BH}}} = \left( {4; 5} \right)\) làm một vecto pháp tuyến.
Mà \(AC\) đi qua \(A({5 \over 2}, 2)\) nên \(AC:4.(x - {5 \over 2}) + 5(y - 2) = 0 \)\(\Leftrightarrow 4x + 5y - 20 = 0\)
\(B = AB \cap BH\) nên tọa độ đỉnh \(B\) là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{
4x + y - 12 = 0 \hfill \cr
6x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 0
\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow B(3,0)\)
\(AH: 2x + 2y – 9 = 0\) có \(\overrightarrow {{n_{AH}}} = \left( {2; 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AH}}} = \left({1; - 1} \right)\) là VTCP.
\(BC \bot AH\) nên nhận \(\overrightarrow {{u_{AH}}} = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT
\(\Rightarrow BC:- 1(x - 3) + (y - 0) = 0 \)\(\Leftrightarrow x - y - 3 = 0\)
\(H = BH \cap AH\) nên tọa độ \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
5x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr
2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{11}}{3}\\
y = \dfrac{5}{6}
\end{array} \right. \Rightarrow H\left({\dfrac{{11}}{3};\dfrac{5}{6}} \right)\)
\(AB:4x + y - 12 = 0\) \(\Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {4; 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AB}}} = \left({1; - 4} \right)\) là VTCP của \(AB\).
\(CH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {{n_{CH}}} = \overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {1; - 4} \right)\) là VTPT của \(CH\).
Mà \(CH\) đi qua \(H\) nên:
\(CH:1\left( {x - \dfrac{{11}}{3}} \right) - 4\left({y - \dfrac{5}{6}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow x - 4y - \dfrac{1}{3} = 0\) \(\Leftrightarrow 3x - 12y - 1 = 0\)
Vậy: \(AC: 4x + 5y - 20 = 0\)
\( BC:x - y - 3 = 0\)
\(CH: 3x - 12y - 1 = 0\)
\(A = AH \cap AB\) nên tọa độ đỉnh \(A\) là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{
4x + y - 12 = 0 \hfill \cr
2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{5}{2}\\
y = 2
\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow A({5 \over 2}, 2)\)
\(BH : 5x – 4y – 15 = 0\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BH}}} = \left( {5; - 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{BH}}} = \left({4; 5} \right)\)
\(AC \bot BH \Rightarrow AC\) nhận \(\overrightarrow {{u_{BH}}} = \left( {4; 5} \right)\) làm một vecto pháp tuyến.
Mà \(AC\) đi qua \(A({5 \over 2}, 2)\) nên \(AC:4.(x - {5 \over 2}) + 5(y - 2) = 0 \)\(\Leftrightarrow 4x + 5y - 20 = 0\)
\(B = AB \cap BH\) nên tọa độ đỉnh \(B\) là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{
4x + y - 12 = 0 \hfill \cr
6x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 0
\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow B(3,0)\)
\(AH: 2x + 2y – 9 = 0\) có \(\overrightarrow {{n_{AH}}} = \left( {2; 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AH}}} = \left({1; - 1} \right)\) là VTCP.
\(BC \bot AH\) nên nhận \(\overrightarrow {{u_{AH}}} = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT
\(\Rightarrow BC:- 1(x - 3) + (y - 0) = 0 \)\(\Leftrightarrow x - y - 3 = 0\)
\(H = BH \cap AH\) nên tọa độ \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
5x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr
2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{11}}{3}\\
y = \dfrac{5}{6}
\end{array} \right. \Rightarrow H\left({\dfrac{{11}}{3};\dfrac{5}{6}} \right)\)
\(AB:4x + y - 12 = 0\) \(\Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {4; 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AB}}} = \left({1; - 4} \right)\) là VTCP của \(AB\).
\(CH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {{n_{CH}}} = \overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {1; - 4} \right)\) là VTPT của \(CH\).
Mà \(CH\) đi qua \(H\) nên:
\(CH:1\left( {x - \dfrac{{11}}{3}} \right) - 4\left({y - \dfrac{5}{6}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow x - 4y - \dfrac{1}{3} = 0\) \(\Leftrightarrow 3x - 12y - 1 = 0\)
Vậy: \(AC: 4x + 5y - 20 = 0\)
\( BC:x - y - 3 = 0\)
\(CH: 3x - 12y - 1 = 0\)