Bài 4 trang 99 SGK Hình học 10

Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) đều có cạnh bằng \(6cm\). Một điểm \(M\) nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BM = 2cm\)

Câu a​

Tính độ dài của đoạn thẳng \(AM\) và tính cosin của góc \(BAM\)
Lời giải chi tiết:

Theo định lí cosin trong tam giác ABM ta có:
\(A{M^2} = B{A^2} + B{M^2}\)\(- 2BA. BM.\cos\widehat {ABM}\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow A{M^2} = 36 + 4 - 2.6.2.{1 \over 2} \cr
& \Rightarrow A{M^2} = 28 \Rightarrow AM = 2\sqrt 7 (cm) \cr} \)
Ta cũng có:
\(\eqalign{
& \cos \widehat {BAM }= {{A{B^2} + A{M^2} - B{M^2}} \over {2AB. AM}} \cr
& \Rightarrow \cos\widehat { BAM }= {{5\sqrt 7 } \over {14}} \cr} \)

Câu b​

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABM.\)
Lời giải chi tiết:
Trong tam giác \(ABM\), theo định lí Sin ta có:
\(\eqalign{
& {{AM} \over {\sin \widehat {ABM}}} = 2R \Leftrightarrow R = {{AM} \over {2\sin \widehat {ABM}}} \cr
& R = {{2\sqrt 7 } \over {2\sin {{60}^0}}} = {{2\sqrt {21} } \over 3}(cm) \cr} \)

Câu c​

Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ \(C\) của tam giác \(ACM.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: BM + MC = BC nên MC = BC – BM = 6 - 2 = 4 cm.
Áp dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác CAM ta có:
\(\eqalign{
& C{P^2} = {{C{A^2} + C{M^2}} \over 2} - {{A{M^2}} \over 4} \cr
& \Rightarrow C{P^2} = {{36 + 16} \over 2} - {{28} \over 4} \cr
& \Rightarrow C{P^2} = 19 \Rightarrow CP = \sqrt {19} \cr}\)

Câu d​

Tính diện tích tam giác \(ABM.\)
Lời giải chi tiết:
Diện tích tam giác \(\displaystyle ABM\) là:
\(\displaystyle S = {1 \over 2}BA. BM\sin \widehat {ABM} \)\(\displaystyle = {1 \over 2}6.2\sin {60^0} = 3\sqrt 3 (c{m^2})\)