Google
Câu hỏi: Cho điểm \(M\) nằm trong đường tròn \((O)\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Kẻ các đường thẳng \(MA, MB, MC,\) chúng cắt lại đường tròn đó lần lượt ở \(A’, B’, C’\). Chứng minh rằng:
\(\dfrac{{{S_{A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{{{({R^2} - M{O^2})}^3}}}{{{{(MA. MB. MC)}^2}}}\).
\(\dfrac{{{S_{A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{{{({R^2} - M{O^2})}^3}}}{{{{(MA. MB. MC)}^2}}}\).
Lời giải chi tiết
(h. 76).
\(\begin{array}{l}{S_{A'B'C'}} = \dfrac{{A'B'. B'C'. C'A'}}{{4R}}.\\{S_{ABC}} = \dfrac{{AB. BC. CA}}{{4R}}.\end{array}\)
Suy ra \(\dfrac{{{S_{A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{A'B'. B'C'. C'A'}}{{AB. BC. CA}}\) (*)
Ta lại có
\(\Delta MAB \sim \Delta MB'A'\) nên \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{MA'}}{{MB}} = \dfrac{{MA. MA'}}{{MA. MB}}\).
Do \(MA. MA' = |{\wp _{M/(O)}}| = {R^2} - M{O^2}\) nên \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{{R^2} - M{O^2}}}{{MA. MB}}\).
Tương tự
\(\dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{{R^2} - M{O^2}}}{{MB. MC}} ;\) \( \dfrac{{C'A'}}{{CA}} = \dfrac{{{R^2} - M{O^2}}}{{MC. MA}}\) (**)
Thay (**) vào (*) ta được điều phải chứng minh.
(h. 76).
\(\begin{array}{l}{S_{A'B'C'}} = \dfrac{{A'B'. B'C'. C'A'}}{{4R}}.\\{S_{ABC}} = \dfrac{{AB. BC. CA}}{{4R}}.\end{array}\)
Suy ra \(\dfrac{{{S_{A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{A'B'. B'C'. C'A'}}{{AB. BC. CA}}\) (*)
Ta lại có
\(\Delta MAB \sim \Delta MB'A'\) nên \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{MA'}}{{MB}} = \dfrac{{MA. MA'}}{{MA. MB}}\).
Do \(MA. MA' = |{\wp _{M/(O)}}| = {R^2} - M{O^2}\) nên \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{{R^2} - M{O^2}}}{{MA. MB}}\).
Tương tự
\(\dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{{R^2} - M{O^2}}}{{MB. MC}} ;\) \( \dfrac{{C'A'}}{{CA}} = \dfrac{{{R^2} - M{O^2}}}{{MC. MA}}\) (**)
Thay (**) vào (*) ta được điều phải chứng minh.