Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Câu hỏi: Cho hàm số:

Câu a​

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.
Lời giải chi tiết:
Với hàm số đã cho có dạng:
Tập xác định:

Hàm số đồng biến trên khoảng: và
Hàm số nghịch biến trên khoảng: và
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại
Hàm số đạt cực tiểu tại và ,
Giới hạn:
Bảng biến thiên:

Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm
Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm:

Đồ thị hàm số là hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Câu b​

Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và trục là nghiệm phương trình


(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m>0 và
Khi đó (1) có 4 nghiệm:
*
(C) cắt trục tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi
*
(C) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi
Vậy m= 9 hoặc .

Cách khác:
Đặt t=x2​, điều kiện t≥0.
Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phương trình:
x4​-(m+1) x2​+m=0 (1)
<=> t2​-(m+1)t+m=0 (2)
Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại bốn điểm tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dai bằng nhau, tức 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
<=> Phương trình (2) có 2 nghiệm dương t1​, t2​ (với t1​ < t2​) thõa mãn điều kiện:

Điều kiện để (2) có 2 nghiệm dương phân biệt là:

Áp dụng định lý Viet ta có:

Thay


Kết hợp với điều kiện (*), vậy với m = 9 hoặc m = 1/9 thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm, tạo thành 3 đoạn thẳng bằng nhau.